Исследование и численное решение некоторых задач об усвоении данных

• Автор: Пармузин, Евгений Иванович
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 93 с. : ил.

Оглавление
Введение,

Глава 1 Численные методы решения проблемы усвоения данных (основы теории)

1.1 Постановка задачи

1.2 Разностная формулировка задачи

1.3 Свойства матрицы управления

1.4 Устойчивость разностной схемы

1.5 Итерационные методы решения задачи об усвоении данных

Глава 2 Численное решение проблемы усвоения данных в линейных параболических задачах

2.1 Постановка задачи

2.2 Разностный аналог и его свойства

2.3 Итерационные алгоритмы решения задачи
2.4 Результаты численных экспериментов
Глава 3 Численное исследование проблемы усвоения данных для полулинейного уравнения теплопроводности
3.1 Постановка задачи
3.2 Численный алгоритм
3.3 Свойства линейной задачи
3.4 Сходимость метода последовательных приближений
3.5 Численное решение задачи об усвоении данных
Глава 4 Численное решение некоторых обратных задач как задач об усвоении данных
4.1 Постановка обратной задачи для уравнения переноса
как задачи об усвоении данных
4.2 Итерационные алгоритмы для решения задачи
4.3 Результаты численных экспериментов. Основные выводы
Заключение
Список литературы

Введение
В настоящее время в связи с исследованиями глобальных изменений на планете Земля возрастает интерес к задачам усвоения и обработки данных наблюдений с целью ретроспективного анализа в различных отраслях знаний. К числу проблем, решение которых не может обойтись без четырехмерного анализа данных наблюдений можно отнести проблемы глобальных изменений климата нашей планеты, состояния и защиты от загрязнений окружающей среды, сохранение биосферы в условиях резкого увеличения народонаселения, интенсивного развития промышленного производства и многие другие. Все это потребовало комплексного изучения задач идентификации для эволюционных процессов.
В последние годы возникли новые постановки проблем, требующие детального изучения с применением теории сопряженных уравнений. В частности, следует отметить проблему анализа полей данных наблюдений, с помощью которых изучаются течения Мирового Океана, идет уточнение параметров океанических моделей, а также исправление самих наблюдаемых полей. Также стоит отметить бурно развивающуюся в последнее время отрасль человеческой деятельности - наблюдение Земли со спутников. В этом случае большое значение приобретает решение проблемы обработки данных, получаемых со спутников. Вариационная формулировка этой задачи может быть сформулирована следующим образом: введя функцию стоимости, измеряющую расхождение между наблюдаемыми величинами и результатами моделирования, найти неизвестные входные параметры модели, для которых функция стоимости принимает наименьшее возможное значение. Обработка получаемых данных является, таким образом, задачей огромной важности и в этом случае, с помощью методов усвоения можно превратить их в полезную информацию, что в конечном счете позволяет производить уточнения и самих наблюдаемых данных. Поэтому весьма актуальным является развитие методов исследования и численного решения задач вариационного усвоения данных.
Математические постановки задач об усвоении данных могут быть сформулированы как задачи оптимального управления в терминах систем уравнений состояния и сопряженных к ним. Начиная с работ Р.Веллмана [7], Л.С.Понтрягина [91]. Н.Н.Красовского [22]. Ж.-Л.Лионса [30], Р.Гловинского [7-3]. А.Балакришнана [6], Г.И.Марчука

[33]. Ю.С. Осипова [88]. А.Б. Куржанского [25], постановки и изучение таких задач с использованием теории сопряжённых уравнений привлекают внимание многих исследователей. Наибольшее развитие эти методы получили в задачах ядерной энергетики, физики атмосферы и океана, охраны окружающей среды, и др. (см. Г.И.Марчук [32, 35. 36], [38], В.В.Пененко и H.H.Образцов [90]. В.В.Пененко и Г.И.Марчук [84], Г.Р.Контарев [77], Дж..Льюис и Дж.Дербер [80]. И.М.Навон[97], Ф.Диме [68], Ж.-Л.Лионе [81, 82]. П.Куртье и О.Та-лагран [67]. А.Лоренц [83], В.И.Агошков [3. 57. 56], Г.И.Марчук и В.И.Агошков [55, 41], Г.И.Марчук и В.Б.Залесный [85], В.М.Ипатова [20], В.Б.Залесный и H.A.Галкин [21], Г.И.Марчук и В.П.Шутя-ев [86], В.Б.Залесный и М.Венцель [9]).
Как известно [55], задачи усвоения данных в некотором смысле эквивалентны некоректно поставленным задачам и поэтому, требуют привлечения методов регуляризации, предложенных в работах А.Н. Тихонова, М.М.Лаврентьева, Ж.-Л.Лионса и др.
Касаясь разрешимости задач оптимального управления, следует отметить результаты, полученные Ж.-Л. Лионсом [30] для линейных задач оптимального управления. Другие подходы к исследованию подобных задач рассматривались в работах К. Бардоса и др. [63], А.И. Егорова [19]. A.B. Фурсикова [71, 72] и др. Для нелинейных задач аналогичные результаты были получены в работах В.И. Агошкова[3, 4. 57], В.И.Агошкова и Г.И. Марчука [55], В.М. Ипатовой [20]. В.П. Шлтяева [92].
Один из подходов к исследованию разрешимости задач об усвоении данных заключается в получении так называемого оператора управления [3, 92]. Как оказывается, знание свойств этого оператора, в особенности его спектральных свойств, важно для исследования разрешимости задачи управления, а также для разработки и обоснования численных алгоритмов ее решения. Наряду с изучением структуры спектра данного оператора важно получить оценки границ спектра, так как их знание позволяет оптимизировать численные алгоритмы решения задачи оптимального управления. В частности, некоторые из таких оценок для непрерывных задач получены в работах Агошко-ва В.И. [3, 57]. Шутяева В.П. [52, 94].
Как отмечалось, знание свойств спектра оператора управления важно для разработки, обоснования и оптимизации численных алгоритмов

Метод IV. (-4 + ,4*)-метод.
Здесь мы предполагаем, что A(t) = -4 не зависит от t и а — 0. В} .4 + .4*. 3j = O.ctj — у. Тогда алгоритм (2.3.1)-(2.3.3) имеет вид:
,A+i(i) _ ,А(Л ,А+ЦЛ , ,А(Л *------------------------------^—+ А& —
к = 0. М -

0(3) = uj
— Л |_ *'£. 'ту

= ß((pk+x/

*АГ(Л — 0.
и*+1 = uj + у (А + A*) В главе 1 доказано, что если .4 - положительно определённая нормальная матрица, то необходимым и достаточным условием сходимости данного итерационного алгоритма является условие (1.5.12). Оптимальное значение параметра определяется по формуле у = 7opt = 2/(2 — crmax — Omin). а коэффициент подавления ошибки при этом имеет вид:

& т.п. т. @ п

&min — Ш1П
1 Л 2 М

& max & г
О max — ГП-äX
1 Л 2 М

а min и шах берутся по всем собственным значениям матрицы А.
2.4 Результаты численных экспериментов
На основе сформулированных выше итерационных алгоритмов был проведен ряд экспериментов по численному решению проблемы об усвоении данных с целью восстановления функций начального условия в линейных параболических задачах. Аппроксимация задачи осуществлялась согласно §2.2. Ниже приводятся некоторые результаты численных экспериментов.
В рассматриваемых примерах шаги по пространству выбирались, как правило, одинаковыми и равными Н = 0.05. а шаги по времени т = 0.05. Критерием остановки итерационного процесса (2.3.1)-(2.3.3)