Методы декомпозиции для решения некоторых параболических задач

• Автор: Гололобов, Сергей Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 125 с. : ил.

Содержание
Введение
0.1. Предварительные замечания
0.2. Параболические начально-краевые задачи
0.3. Нелинейные задачи
0.4. Дискретизация и вспомогательные неравенства
1. Явно-неявный метод декомпозиции области
1.1. Некоторые вспомогательные неравенства
1.2. Формулировка метода
1.3. Свойства полиномов Ланцоша
1.4. Устойчивость
1.5. Теоремы сходимости
1.6. Численные эксперименты ( одномерная задача )
1.7. Явно-неявный метод декомпозиции с расщеплением
1.8. Численные эксперименты ( двйерная задача )
2. Метод декомпозиции области типа переменных направлений
2.1. Формулировка метода
2.2. Теоремы сходимости
2.3. Теоремы сходимости для одномерной задачи
2.4. Численные эксперименты
3. Неявные методы с параметром для нелинейных задач
3.1. Устойчивость неявного метода с параметром
3.2. Теоремы сходимости
3.2.1. Произвольные шаги по времени
3.2.2. Почти постоянные шаги по времени
3.3. Численные эксперименты
3.4. Экстраполяционные неявные методы с параметром
3.4.1. Экстраполяционные неявные методы с параметром для модельной задачи

3.4.2. Неявный метод с параметром со статической экстраполяцией для задач реакции-диффузии
3.4.3. Неявный метод с параметром с динамической экстраполяцией для монотонных операторов
3.5. Адаптивные сетки
3.5.1. Построение адаптивной сетки по пространству
3.5.2. Построение адаптивной сетки по времени
3.6. Численные эксперименты
Заключительные замечания
Литература

Введение
0.1. Предварительные замечания
Детализируя название диссертации, можно сказать, что она посвящена обоснованию ряда алгоритмов декомпозиции для решения многомерных линейных и полулинейных параболических начально-краевых задач. При этом термин ’’декомпозиция” понимается в самом широком смысле этого слова как декомпозиция процесса вычисления решения исходной задачи на серию подпроцессов ( подзадач ). Основной целью декомпозиции является получение серии ( почти ) независимых друг от друга подзадач. Именно в этом состоит основное отличие идеологии методов декомпозиции от стандартных методов разбиения задачи на последовательность простых подзадач, в которой невозможно решить подзадачу, если не решены ( почти ) все предыдущие подзадачи. Требование ( почти ) независимости подзадач обусловлено развитием многопроцессорной вычислительной техники, в которой скорость взаимодействия между процессорами значительно ниже скорости выполнения арифметических операций. Поэтому, чем больше зависимость между подзадачами, тем меньше выигрыш от использования многопроцессорной вычислительной техники по сравнению с однопроцессорной. Но кроме независимости подзадач необходимо, чтобы подпроцессы не сильно разнились по количеству операций, поскольку в противном случае эффективность декомпозиции будет очень низкой. В связи с вышесказанным, к эффективным методам декомпозиции можно отнести как методы декомпозиции области, так и экстраполяционные методы. Именно об этих двух вариантах методов декомпозиции и пойдет речь в настоящей работе.
В этом предисловии мы по традиции приведем некоторые соображения по поводу актуальности данной тематики, конкретизируем цель исследования и решаемые для ее достижения задачи и кратко остановимся на научной новизне результатов. В конце будет сказано несколько слов о структктуре диссертации.

Доказательство. Левое из неравенств (1.15) следует из представления (1.13), либо (1.14), причем достижимость его очевидна ( при х = Хк ). Далее, имеет место
бш(& + 1)а

ят ка
аж а + аж 1а

вт ка

+ 1.
Суммируя это неравенство по к от 0 до в, получаем
вт(в 4-1 )а

<5+1.
Учитывая представление (1.13), приходим к правому из неравенств (1.15). Его достижимость немедленно следует из леммы 1.6. □
Задание матрицы будет связано с функцией д8(х) = -—1--, х £ [0,1].

(1.16)
В дальнейшем будем использовать обозначение: <т3 — — + Справедлива следующая
Лемма 1.8. Функция д8(х) является полиномом степени 5 — 1 при х £ [0,1] и выполнены равенства
9.(0)
3+1)2
Доказательство. Утверждение о том, что д8(х) - полином степени 5 — 1 следует непосредственно из представления (1.14). Из представлений (1.14), (1-16) нетрудно видеть, что д8{х) < — д8{х{) при х £ [хъ 1], где Х - минимальный корень полинома Ланцоша. Пусть х £ [0, х{. Прямой проверкой получаем К{х) 0) а К(®) > 0. По теореме Лагранжа д'8{х)

х-у Цх)-1Лу)

= ~Ф) < 0, где г £
[у,х С [0, ж] С [0,жх]. Таким образом д8(х) не возрастает на