Метод конечных элементов высокого порядка точности для краевой задачи с сингулярностью

• Автор: Ереклинцев, Антон Германович
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Хабаровск
• Количество страниц: 137 с. : ил.

Глава 1. Коэрцитявность и дифференциальные свойства задачи Дирихле

с согласованным вырождением исходных данных

1.1. Основные обозначения

1.2. Постановка задачи. Определение //„-обобщённого решения

1.3. Существование и единсгвенносгь //„-обобщённого решения

1.4. Коэрцитивност ь задачи Дирихле с согласованным вырождением исходных данных

1.5. Дифференциальные свойства //„-обобщённого решения задачи Дирихле с согласованным вырождением исходных данных

Глава 2. Мет од конечных элементов высокого порядка точности для

задачи Дирихле с согласованным вырождением исходных

данных

2.1. Постановка задачи. Определение //„-обобщённого решения

2.2. Существование, едины венность и регулярность //„-обобщённы о решения

2.3. Схема меюда конечных элемешов
2.4. Оценка погрешносш аппроксимации к норме пространства

2.5. Численная реализация меюда конечных элемешов высокого порядка точности для задачи с согласованным вырождением исходных данных и сильно» сингулярностью
2.5.1. Постановка дифференциальной задачи
2.5.2. Алгоритм численного метода
2.5.3. Результаты численного эксперимента и выводы об аппроксимационных свойствах метода конечных элемешов высокого порядка точности
Литература
Приложение

Настоящая диссертация посвящена исследованию коэрцитивных и дифференциальных свойств //„-обобщённого решения задачи Дирихле для эллиптического дифференциального уравнения второго порядка с согласованным вырождением исходных данных на конечном множестве точек границы произвольной выпуклой двумерной области и построению и теорст и чес кому обоснованию схемы метода конечных элементов высокого порядка точности для численного решения краевой задачи с сингулярностью на основе применения дифференциальных свойств её решения.
В настоящее время построена законченная теория краевых задач для эллиптических дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений с гладкой границей. Один из центральных результатов этой теории состоит в том, чю если коэффициенты уравнения и граничных операторов, их правые части, а также граница области являются достаточно гладкими, то решение задачи — соответственно гладкая функция. Так, если коэффициенты и правые части непрерывны в обычном смысле, доказана разрешимость эллиптических краевых задач в пространствах 11^(0); если же исходные данные непрерывны по Гёльдеру, разрешимость установлена в пространствах Сг+“(П) (см. [1], [3], [4], [7], [10], [31]—[35], [40], [СО], [98]-[101]).
Исследование краевых задач для дифференциальных уравнений с особенностью (вырождением, сингулярностью) решения, а также разработка и обоснование .методов численного анализа таких задач являются интенсивно развивающимися направлениями в современной математике.
Сингулярность решения краевой задачи для эллиптических дифференциальных уравнений может быть вызвана тремя причинами:
/ наличием угловых или конических ючек на границе области;

Интегральное тождество (1.50) справедливо для всех у(х) из простран-

ства ЯфП), поскольку при выполнении условия (1.46) имеет место вло0 0 1 0 1 жение ЯфП) СЯ2|^/2 (О). Кроме лого, лак как у„(х)е Н^и+р/г (ЭД»

то, согласно утверждению А) леммы 1.2, йи(х)ЕН1(<0). На основании тождества (1.50) и сделанных замечаний функция и„{х) является обобщённым решением краевой задачи для дифференциального уравнения
- X) °*з{х)дд^] + £Мх)~^-+а{х)и,{х)==1{х),х £ П, (1.51) с граничным условием
ии(х) = 0, х £ ЗП, (1.52)
где обозначено
аф) = ри~р/2(х)а1з(х) (/,в = 1, 2),
~ , ч V- ( , ч ( -в, ,дри+М2(х) ,др-^р/2х)
аа{х)=^ а1з(х) р р{х) — р- (х)

^ _0 др'/*р12{х)
-Щ(ф !>(*) _
дх1 0x1
(5 = 1,2),
ад=а(»)Л№М-Еа,(ф-^МЭ^2(1)+Х; («,,(*) (^р7(х) = р2и{х)Р(х).
Обобщённое решение й„(х) задачи (1.51), (1.52) существует и един-

ственно в пространстве Я1 (О) в силу того, что существует и единствен-0
но в пространстве Я2)„+д/2 (^) Я^-обобщённое решение щфт) краевой задачи (1.25), (1.26).