Исследование трёхпараметрического итерационного метода, ориентированного на решение двух классов задач с нелинейными седловыми операторами

• Автор: Милютин, Сергей Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 92 с. : ил.

Содержание
Введение
Глава 1. Численное исследование течения бингамовской вязкопластической жидкости
1.1. Модель бингамовской жидкости
1.2. Вспомогательные результаты
1.3. Дискретная задача
1.4. Доказательство сходимости трехпараметрического итерационного метода
1.5. Выводы
Глава 2. Численное исследование течения обобщённой ньютоновской жидкости
2.1. Постановка задачи
2.2. Предварительные результаты
2.3. Доказательство сходимости трёхпараметрического итерационного метода
2.4. Выводы
Глава 3. Алгоритм поиска итерационных параметров трёхпараметрического метода
3.1. Формулировка алгоритма
3.2. Выводы
Глава 4. Практическая реализация трехпараметрического итерационного метода
4.1. Задача о каверне

4.2. Течение Пуазейля
4.2.1. Течение Пуазейля вязкой жидкости в цилиндрической трубе постоянного радиуса
4.2.2. Течение Пуазейля вязкой жидкости в цилиндрической трубе переменного радиуса
4.2.3. Течение Пуазейля бингамовской жидкости в цилиндрической трубе постоянного радиуса
4.3. Выводы
Заключение
Литература

Введение
Проблема численного решения уравнений гидродинамики имеет важное практическое значение, так как в подавляющем большинстве случаев (например, когда уравнения описывают течение вязкой, вязкопластической и других жидкостей) нахождение аналитического решения в явном виде не представляется возможным. Однако применение численных методов для решения задач о течении различных жидкостей требует тщательного обоснования используемых алгоритмов. Отметим, что такое обоснование с одной стороны связано с вопросами существования и единственности решения рассматриваемых постановок физических задач, а с другой стороны — с особенностью применения конкретного алгоритма к конкретной задаче (или классу задач). Для многих моделей жидкостей (нелинейно-вязкой, вязкопластической и других) в том или ином виде доказаны теоремы существования и единственности решения соответствующих уравнений движения ( [9], [25], [27]). Таким образом, для таких моделей остаётся открытой проблема выбора эффективных численных методов. При численном анализе математических постановок задач гидродинамики, как правило, приходят к нелинейным конечномерным системам алгебраических уравнений, полученных дискретизацией исходных дифференциальных уравнений. Отметим, что, как правило, данные системы характеризуются большой размерностью, что делает невозможным применение прямых методов.
Итак, рассмотрим в ограниченной области А С I2 стационарную первую краевую задачу для уравнения Навье-Стокса в переменных скорость — давление:
— Ди + р (и • V) и + 7р = f,
V • и = О,
и1зп = °>

Введем вспомогательные операторы:
G = Q~1/2BC~l/2] L = Q~1/2 (s + Щ Q~1/2 + (3GGT J = Q^2 (Nu) Q~x>2.
Лемма 8. Оператор L является симметричным, положительно определённым оператором, для которого имеет место неравенство
91 < L < (0 + г] + /?Г)7. (1.16)
Для операторов G и J имеют место следующие условия:
7/ < GTG < Г/, (1.17)
Il J|| < Dn. (1.18)
Доказательство. Вначале докажем неравенство (1.17):
GTG = (Q~1/2BC-x/2)TQ-l/2BC-x/2 = C~1/2BtQ-1BC-x/2,
таким образом, домножив (1.14) справа и слева на С-1/2, получим искомое неравенство. Далее, условие (1.16) становится очевидным в силу леммы 6, а также только что доказанного неравенства (1.17).
Неравенство (1.18) верно в силу того, что выполняются условия (1.13), а также лемма 6.
Лемма доказана.
Рассмотрим вспомогательный итерационный метод с линейным опера-