Построение квадратурных формул для вычисления сингулярных интегралов с ядром Коши

• Автор: Марданов, Алексей Асмедович
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 105 с. : ил.

СОДЕРЖАНИЕ Введение
Глава 1. Построение квадратурных формул для сингулярного интеграла с ядром Коши, точных для рациональных дробей с полюсами первого порядка в точках, обратных к узлам
§ 1. Построение квадратурной формулы открытого типа
§ 2. Оценка погрешности полученной формулы
§ 3. Применение построенной формулы для вычисления сингулярного интеграла на отрезке
Глава 2. Построение квадратурных формул для сингулярного интеграла с ядром Коши, точных для тригономет-ТрИЧеСКИХ МНОГОЧЛеНОВ
.'' ,:'V* і .
§ 1. Формула средних прямоугольников для интеграла без особенностей по вложенному промежутку с чебышевским весом ... 37 § 2. Формула трапеций для интеграла без особенностей по вложенному промежутку с чебышевским весом
§ 3. Применение построенных формул для вычисления интеграла от функции, аналитической внутри отрезка и имеющей особенности на концах
§ 4. Построение квадратурных формул открытого типа на основе
формулы A.A. Корнейчука
§ 5. Оценка погрешности полученных формул
§ 6. Применение построенных формул для вычисления сингулярного интеграла на отрезке
§ 7. Формула открытого типа, основанная на замене плотности сингулярного интеграла тригонометрическим многочленом
§ 8. Оценка погрешности полученной формулы
§ 9. Применение построенной формулы для вычисления сингулярного интеграла на отрезке

Глава 3. Равномерные оценки погрешностей формул открытого и замкнутого типа для сингулярного интеграла на отрезке
§ 1. Равномерная оценка для формулы открытого типа, построенной
в § 4 главы
§ 2. Равномерная оценка для формулы открытого типа, построенной в § 4 главы 2, примененной для вычисления сингулярного интеграла на отрезке
§ 3. Равномерная оценка для аналогичной формулы замкнутого типа
§ 4. Равномерная оценка для формулы открытого типа, построенной
в § 7 главы
§ 5. Равномерная оценка для формулы открытого типа, построенной в § 7 главы 2, примененной для вычисления сингулярного интеграла на отрезке
Заключение
Приложение
Список литературы

ВВЕДЕНИЕ
Интегралы типа Коши лежат в основе построения теории краевых задач теории аналитических функций комплексного переменного. Решение многих краевых задач аналитических функций выражается через интегралы типа Коши с заданной плотностью или с неизвестными плотностями, для нахождения которых нужно решать в общем случае систему сингулярных интегральных или интегро -дифференциальных уравнений, содержащих сингулярный интеграл - главное значение интеграла типа Коши.
Свойства этих интегралов к настоящему времени достаточно хорошо изучены ([6], [16]), однако приближенные методы развиты слабо по сравнению с методами вычисления обычных интегралов Ри-мана. Методы приближенного вычисления интегралов типа Коши приобретают все большее теоретическое и практическое значение, поскольку теория краевых задач имеет разнообразные и многочисленные приложения в задачах математической физики, особенно в задачах механики сплошной среды, в ряде которых получены лишь приближенные результаты без оценки погрешности.
Одним из наиболее простых способов приближенного вычисления сингулярного интеграла является его регуляризация ( выделение главной части ). Пусть
тогда регуляризацией этого интеграла назовем представление его в виде
где Ь - кусочно - гладкая кривая.
В формуле (1) первый интеграл является сингулярным и вычисляется аналитически, второй уже является регулярным, если функция

а интеграл Ja(t) вычислим по формуле (1.6):

Jit) ft! Ja{t) ft! Ja,n{t) =a2 Am(t) y/l - s2mf{asm). (3.1)

Для оценки остаточного члена представим его в виде R(t) = J(t) - Ja,n(t) = АД*) + A2(t),

Дг(0 - остаток формулы (1.6), оцененный в § 2. Пусть /(ж) удовлетворяет оценке
|/(я)| |1 ±ж|а.
Оценим Дх(£). Имеем
/ г4Н« - “)“/ = ЛГ(1~ 0)01п Й-
о а 0 о а 1 и и
Интеграл по промежутку [—1, —а] оценивается аналогично, поэтому («ЖЛГр-аЩпДлД. (3.2)
Используя (2.7) и (3.2), получаем для формулы (3.1) оценку

|R(t) | < Спе~ппК'/4К + N{1 - а)а In

В [21] показано, что 1 — у/к < 4ехр(—жК/К'), откуда (1 — 0)“ < 4ехр(—апК/К'). Выберем теперь а — у/к так, чтобы показатели экспонент были равны:
—аттК —пжК' К 1 рп
К' = 4А" ’ К> = 2 V а’