Численные методы на основе вариационных неравенств для вязкопластической среды Бингама

• Автор: Муравлёва, Екатерина Анатольевна
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 174 с. : ил.

Содержание
Введение
1.1 Модель Бингама
1.2 Содержание работы по главам
Глава 1. Постановка задачи и предварительные сведения
1.1 Постановка задачи
1.2 Некоторые сведения из выпуклого анализа
1.3 Определение внешних аппроксимаций V, а, ) и (Ро)
Глава 2. Задача о течении среды Бингама в канале
2.1 Задача о течении вязкопластической среды в канале
2.2 Внешние аппроксимации вариационного неравенства для
задачи о течении в канале
2.2.1 Первая внешняя аппроксимация Н(О)
2.2.2 Вторая внешняя аппроксимация Нд(0.)
2.2.3 Аппроксимация а,і,і
2.2.4 Сходимость внешних аппроксимаций
2.3 Сходимость АЬС2 для задачи о течении в канале
2.4 Разностные схемы
2.4.1 Схема на разнесенных сетках
2.4.2 Схема на неразнесённых сетках
2.5 Численные результаты
2.6 Качественный анализ течения в трубах
Глава 3. Двумерная задача
3.1 Вариационная постановка для плоской задачи
3.2 Внешние аппроксимации для плоской задачи
3.2.1 Первая аппроксимация V
3.2.2 Вторая аппроксимация V
3.2.3 Аппроксимация а,],і
3.3 Алгоритм Узавы
3.3.1 Сходимость алгоритма
3.3.2 Первая разностная схема
3.3.3 Вторая разностная схема
3.4 Алгоритм АЬС2
3.4.1 Сходимость алгоритма
3.4.2 Реализация алгоритма на разностных схемах
3.5 Численные эксперименты

Глава 4. Трёхмерная задача
4.1 Внешние аппроксимации для пространственной задачи
4.1.1 Первая аппроксимация V
4.1.2 Вторая аппроксимация V
4.2 Ядро дискретного оператора градиента
4.2.1 Структура дискретного оператора градиента
4.2.2 Тензорная структура оператора градиента и его ядра
4.2.3 Процедура ортогонализации
4.3 Спектр дополнения по Шуру
4.4 Стабилизация
4.5 Численные эксперименты
4.5.1 Аналитические решения для вязкой жидкости
4.5.2 Аналитические решения для вязкопластической среды
Глава 5. Моделирование нестационарных течений среды Бингама
5.1 Течение в канале
5.2 Течение в каверне
Заключение
Литература

Введение
.1. Модель Бингама
В природе и технике существует широкий круг материалов, которые обладают поведением среды Бингама, а именно: ниже определенного предельного значения напряжений среда ведет себя как жесткое тело, выше этого предела - как несжимаемая вязкая жидкость. Примерами могут служить геоматериалы (глины, грязи, тяжелые масла, сырая нефть, а также сели, оползни, кристаллизующаяся лава), множество косметических (кремы, гели, зубная паста) и пищевых (жидкий шоколад, фруктовые сиропы) продуктов, строительные (свежий бетон, масляные краски) и химические (коллоидные растворы, порошкообразные смеси, полимерные соединения) материалы.
Интерес к этой модели возник на рубеже 19-20 веков, после того как в экспериментальных работах Шведова [50], Бингама [5] и других, было показано, что ряд реальных материалов обнаруживает этот тип реологического поведения. Модель была предложена для описания движения суспензий в условиях чистого сдвига (одномерная задача)1. Позднее Генки [66] и Ильюшин [74] предложили пространственное обобщение уравнения состояния Шведова-Бингама. В дальнейшем эта модель подробно исследовалась Олройдом [42] и Пратером [44], Мосоловым и Мясниковым [98], а также Дюво и Анонсом [72]. Анализ различных вязкопластических материалов и перечень многих известных аналитических решений приведены в обзоре [11]. В отечественной литературе исследованию течений бингамовской жидкости посвящены, в частности, монографии [69, 98, 100]. В недавно вышедшей монографии [80] наряду с классическими постановками задач и точными решениями рассмотрены новые направления в исследовании вязкопластических течений.
Рассмотрим определяющие соотношения вязкопластической среды Бингама:
рч={™+ если|°;у>!#“' о.1.1)
[М < Щ, если |В(у)| = 0,
1Это классический эксперимент, при котором можно получить зависимость между единственной ненулевой; компонентой тензора напряжений п соответствующей когшонентой тензора скоростей деформации (остальные Од = 0), например, <Т]2 = . Фактически, это соответствует одноосному
напряженному состоянию. Переход к определяющим соотношениям в условиях многосного (многокомпонентного) состояния является нетривиальной задачей.

из (2.2.50)
(fh, uH-vh) -> (f, u-w). (2.2.62)
Перепишем (2.2.12)
ан (vh, vh) + jh (vh) < ah (vh, uh) + jK (üh) - (fH, uh - vh). (2.2.63)
Используя в неравенстве (2.2.63) полученные результаты (2.2.58)
(2.2.62), находим
cl(w, w) + ) (w) < а (w, u) + jh(u) - (f, Uh-w) Vu 6 Hj(Q),
следовательно, w = v, что позволяет утверждать, что PhVh —> ov слабо в F.
Для доказательства (2.2.51), (2.2.52) рассмотрим элемент vH € Vh, для которого
Рнн —> o>v сильно в F, (2.2.64)
и положим
Хк = ан (vh - vh, vh - Vh)
Имеем Хн = ан (vh, vh) —ан (vh, Vh)-aH (vh, vh) + ah (vh, vh). Из (2.2.63) следует, что
Xh < ан (vh, uK) + jh (üh) - jh (vh) - (fh, uh - vH) -- ah (vk, vH) - aH (vh, vh) + aH (vh, vh)
Используем теперь (2.2.43), (2.2.44) и получим
limsupXn < а (v, u) + j (u) — j (v) — f (u — v) — а (v, v).
Полагая теперь u = v, получим, что Xh —> 0, откуда, ввиду (2.2.42), имеем ||vh-Vh||vh 0, однако в силу ЦрнЦдУн.г) < С (2.2.17),(2.2.23) PhVh — PhVh —» 0 сильно в F, откуда и следует (2.2.51), (2.2.52). □
2.3. Сходимость ALG2 для задачи о течении в канале
Напомним, что Vh = { vh | vh = (v4)M6Qh, v4 6 M}. Рассмотрим первую аппроксимацию. Определим пространство
Qh {-4h |ч.1г (Чн> Чн)> Чн { Чг-Н/г.МбГД) Чн { Чг,)+1/2)м.еП}-
(2.3.1)
Дискретный оператор градиента Vih : V, —> определяется как
VihUh = (5-|Uh, 52uk) . Таким образом, пространству принадлежат 4н, М-н, (VihUh)