Операторы с псевдоразреженными матрицами и их приложения

• Автор: Блатов, Игорь Анатольевич
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 333 с. : ил.

Глава I. Операторы с псевдоразреженными матрицами. Общая теория
§1. Классы ПРМ. Определения и примеры
1.1. Индексные зоны
1.2. Функция расползания
1.3. Классы ПРМ с экспоненциальным убыванием
1.4. Классы ПРМ с субэкспоненциальным убыванием
1.5. Алгебры ПРМ
1.6. Примеры ПРМ
1.7. Наполненность алгебр ПРМ
1.8. Доказательства лемм и теорем
1.9. Доказательство теоремы 1
1.10. Доказательство теоремы 1.1 для произвольного р
1.11. Доказательство теоремы 1
1.12. Доказательство теоремы 1
1.13. Доказательство теоремы 1
§2. Оценки Ш и (^П-разложений ПРМ
2.1. Формулировки теорем
2.2. Вспомогательные леммы
2.3. Доказательства теорем 2.1 и 2
2.4. Доказательства теорем 2.3 и 2
§3. Оценки обратных матриц, Ы1 и <^11-разложений хорошо обусловленных псевдоразреженных матриц конечных порядков
3.1. Индексные зоны
3.2. Функция расползания
3.3. Инверсно замкнутые классы с экспоненциальным убыванием
3.4. Инверсно замкнутые классы с субэкспонен-циальным убыванием
3.5. Замечания о доказательствах теорем 3.1-3.5
3.6. Об оценках Ьи и С^11-разложений разреженных матриц
3.7. Примеры инверсно замкнутых классов
3.8. Инверсно замкнутые классы для многоуровневых псевдоразреженных матриц
3.9. Оценки ЫГ-факторизаций в случае приближенных вычислений
§4. Оценки блочных факторизаций модельных эллиптических краевых задач
4.1. Оценки элементов точных факторизаций
§5. Оценки неполных факторизаций модельных эллиптических краевых задач
5.1. Вспомогательные леммы
5.2. Оценки элементов матриц
Глава II. Теория методов неполной факторизации
§6. Методы неполной факторизации для хорошо обусловленных разреженных систем
6.1. Неполная точечная факторизация
6.2. Неполная блочная факторизация
§7. Методы неполной факторизации для эллиптических краевых задач
7.1. Доказательство теоремы 7
7.2. Доказательство теоремы 7
7.3. Доказательство оценок снизу
Глава III. Метод конечных элементов Галеркина для систем сингулярно возмущенных уравнений первого порядка
§8. Постановка краевой задачи и основной результат
8.1. Постановка краевой задачи
8.2. Разбиение отрезка [—1,1] и аппроксимационные пространства
8.3. Галеркинская задача и основная теорема
§9. Схема доказательства теоремы 8
9.1. Галеркинский проектор
9.2. Представление галеркинского проектора через биортогональные базисы
9.3. Завершение доказательства теоремы 8.1
§10. Вспомогательные результаты и доказательства лемм
10.1. Аппроксимационные свойства пробных пространств
10.2. Доказательство леммы 9
10.3. Доказательства лемм 10.2 и 10
§11. Равномерная линейная независимость функций 7ф
11.1. Равномерная линейная независимость В-сплайнов
11.2. Некоторые свойства нормированных функций Гф
11.3. Схема доказательства СРЛН функций Гф

(A). Найдется такая функция сІ(т), монотонно стремящаяся к нулю при т —)■ оо, что
[к/2] +сю
2 £/(/)/(*-ОВД+ 2 Е (1(1)?КІ)<і(т)/(к),
1=т 1=[к/2]+1
1 <т< [к/2] + 1.
Пусть с1х(т) = Еп^то+і /(п)/г(п). Зафиксируем некоторые т Є А, 7 > 0,ф > 0. Обозначим через т наименьшее из натуральных чисел, для которых
й{тх) < <іі(т)/(птх(ехр(—к^у / т) / ф (к))). (1.59)
Существование такого ті вытекает из условия (1.48). Функцию, осуществляющую соответствие т,ф,7 -4 ті, обозначим М(т,ф, 7).
(B). Для любых ф, 7 >
Діт^Дт) тах (ф(к-М{т,ф,1))/ф(к))=0.
т-^-оо к>2М(т,ф,у)
Теорема 1.4. Пусть функции /,/г таковы, что выполнены условия (1.48),(1.49),(А),(В). Тогда если /г - функция расползания множества 5, то алгебра £)(/, 5,0) наполнена. Более того, для любых констант С, Сі,Сї найдется такая константа С4 = СДСДСі, С2, /г, /), зависящая лишь от указанных величин и не зависящая от 5, что если А Є Д)(/, 5,0), || А~1 ||< Сг и А удовлетворяет условию (1.50), то для элементов матрицы А~1 справедливы оценки
Ы < СА/(к), (г,І) € 5*, * Є А. (1.60)
Теорема 1.5. Пусть для некоторых ф > 0,7 > 0 7 > р + 1, ВД < Сь(к + 1)^, /(*) = {к + 1)'