Метод регуляризации Тихонова с негладкими стабилизаторами

• Автор: Короткий, Михаил Александрович
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 132 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Обозначения и соглашения

Введение

Глава I. Регуляризация операторных уравнений

1.1. Постановка задачи

1.2. Исследование сходимости метода Тихонова

со стабилизаторами первого типа

1.3. Исследование сходимости метода Тихонова

со стабилизаторами второго типа

1.4. Численное моделирование

Глава II. Восстановление управлений

в динамических системах статическим методом
2.1. Постановка задачи
2.2. Построение регуляризирующего алгоритма
2.3. Построение минимизирующих последовательностей
2.4. Численное моделирование
Глава III. Восстановление управлений
в динамических системах динамическим методом
3.1. Постановка задачи
3.2. Построение регуляризирующего алгоритма
3.3. Численное моделирование .'
Список литературы

Обозначения и соглашения
IMIp
Z/p[(Zj ь
С [а, Ь]
ü(t)
С1 [а, Ъ
С0>,6]
С00 [а, Ъ
W?[a,b]
Gha{n) Vab(u) df(x) co{M }

множество всех натуральных чисел;
множество всех вещественных чисел;
множество всех положительных вещественных чисел;
евклидово пространство n-мерных векторов и=(щ
множество всех прямоугольных матриц размера т х п ;

р - норма вектора и £ К", ||u||£ = |гфр, 1 р < оо;

банахово пространство интегрируемых в р-ой степени по Лебегу функций с нормой \u\l — Jb u(t)pdt, 1 < р < оо; банахово пространство измеримых существенно ограниченных функций с нормой
IMloo = vraimax |ад| = inf { sup |и(ж)| : т(Е) = 0} ;
ЕС [а,Ь] [а,Ь}Е
банахово пространство непрерывных на [а, Ь] функций с нормой |ф||с = max{ |«(£)| : t £ [о,6] } ; производная du [t)/dt ;
банахово пространство непрерывно дифференцируемых на отрезке [а, Ь] функций с нормой ЦиЦс1 = IM|c+ IHIc ; банахово пространство непрерывно дифференцируемых на отрезке [а, 6] функций, имеющих на его концах нулевые значения;
пространство бесконечно дифференцируемых на отрезке [а, Ь] функций;
пространство Соболева порядка к с обощенными производными суммируемыми с 1-ой степенью на [а, Ь]; обобщенная вариация функции и = u(t),t Е [а, &]; классическая вариация функции и — u(t),t Е [а, 6]; субдифференциал функции / в точке х; замкнутая выпуклая оболочка множества М С R"; обозначение слабой сходимости;
множество функций и Е L2[a, Ъ] таких, что G{u) < оо, или множество всех допустимых управлений.

Введение
Понятие корректности задачи математической физики было введено Ж.Адамаром [1] в начале прошлого столетия. Им было высказано мнение о том, что корректная постановка является непременным условием, которому должна удовлетворять всякая математическая модель, соответствующая физической реальности. Эта точка зрения не подвергалась сомнению в течение многих лет. Корректные модели хороши тем, что классическая вычислительная математика позволяет решать задачи традиционными методами. При этом зачастую удается ответить на вопрос о сходимости предложенного алгоритма и оценке возникающей здесь погрешности. Конечно, появляются дополнительные трудности реализации алгоритма на компьютере, учете погрешностей округления, представления данных и результатов вычислений и т.д. Но эти проблемы обычно успешно решаются, особенно если учесть, что технические возможности современных компьютеров расширяются очень быстро. Однако часто имеющаяся у исследователя информация позволяет построить лишь такую математическую модель, для которой нет теорем существования решения в естественных функциональных пространствах и, самое главное, нет устойчивости решения по входным данным задачи. Для такой модели нельзя получить регулярные вычислительные алгоритмы с помощью традиционных методов.
В 1943 году появилась работа А.Н.Тихонова [2], в которой впервые была указана практическая важность неустойчивых по входным данным (некорректно поставленных) задач и принципиальная возможность их успешного решения в условиях принадлежности точного решения компактному множеству. В середине 50-х годов и, особенно интенсивно, в начале 60-х годов прошлого столетия началась систематическое изучение некорректных задач. Образовалось новое направление, лежащее на стыке функционального анализа и вычислительной математики, которое затем оформилось в самостоятельную область науки. Основопологающие подходы для теории некорректных задач связаны с именами А.Н.Тихонова, М.М.Лаврентьева, В.К.Иванова.

Поэтому по теореме Лебега о предельном переходе под знаком интеграла имеем
рЬ pb rb
/ щт(х)и'(x)dx — / Ukm(x)vr(x)dx —> / u(x)v'(x)dx
Ja Ja Ja
Следовательно,
Gba(u) = sup { f u(x)v'(x)dx : v € C(J[a,6] , |и(ж)| 1} < А J а
Gba(ü) < limGba(ukm)
Лемма 1.3.1 доказана.
Лемма 1.3.2. Функционал полунепрерывен снизу относитель-
но сходимости почти всюду.
Доказательство. Пусть ик —> й всюду на отрезке [а, Ъ], за исключением, быть может, множества Е' лебеговой меры ноль. Учитывая определение точной нижней грани (см., например, [104, стр.215]), определим следующие множества
Еа' INUoo = inf SUP |й(ж)[ = sup |ЭД| > mes{Ea) = О,
Ес[а,Ь] [а,Ь]Е [а,fr]Еа
Eak: ||uA||ioo = inf sup iufc(x)| = sup uk(x) , mes(Eak) = 0 ,
Eo[a,b] [aib] E [0)6] Eak

Eß=J Eak , mes(Eß)
fc=i
Для любого e > 0 найдется элемент х£ € [a, b] (Eß (J Еа (J Е'), для которого
INU« = SUP №01 = SUP |й(ж)| < |й(ж£)| +£
[а,Ъ]Еа U Еа (J Е')
= lim inf |ufc(rre)| + е lim inf sup uk(x) + e
< lim inf sup uk(x) I + e = lim inf ||ufc||ieo + e
k°° [o,6]£„fc fc->0°
В силу произвольности £ имеем
IMIioo < lim inf ||u*||Lee
k—> OO
Лемма 1.3.2 доказана.