Оптимизационный подход к решению вариационных неравенств

• Автор: Намм, Роберт Викторович
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 103 c. : ил

■ОГЛАВЛЕНИЕ

ГЛАВА I. О РЕШЕНИИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ВАШАЩОННЫХ

НЕРАВЕНСТВ В УСЛОВИЯХ СЛАБОЙ КОЭРЩТИВНОСТИ

§ I. Характеристика минимизирующих последовательностей

в задаче Синьорини

§ 2. Построение минимизирующей последовательности

§ 3. Устойчивость вспомогательных задач

ГЛАВА 2. О ЧИСЛЕННОМ РЕШЕНИИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ

ВАРИАЩОННЫХ НЕРАВЕНСТВ

§ I. Необходимые сведения о внешних аппроксимациях

§ 2. Метод поточечной релаксации

§ 3. О скорости сходимости метода поточечной релаксации в задаче упругопластического кручения цилиндрического стержня
ГЛАВА 3. МОДИШЩРОВАННЫЙ МЕТОД ВОЗМОЖНЫХ НАПРАВЛЕНИЙ
§ I. Некоторые сведения о методе возможных направлений
§ 2. Метод возможных направлений с отбрасыванием
ограничений
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ даССЕРТАЩСННОЙ РАБОТЫ
ПРИЛОЖЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА

Приближенное решение многих линейных задач математической физики шкет быть получено в результате безусловной минимизации конечномерного (квадратичного и выпуклого) функционала или решения соответствующей системы линейных алгебраических уравнений. В последнее время объектом повышенного интереса являются нелинейные краевые задачи, такие, как задача об упругопластическом кручении цилиндрического стержня, задача о препятствии и другие [з] , [в] , [18] . Эти задачи (как и линейные) допускают естественную вариационную постановку и, в результате соответствующей аппроксимации, могут быть сведены к выпуклым конечномерным экстремальным задачам с ограничениями. Целью диссертационной работы является развитие численных методов решения такого рода вариационных задач с использованием аппарата вариационно-разностных аппроксимаций и математического программирования.
Пусть Х2сГ - открытая область с кусочно-гладкой границей, - гильбертово пространство, билинейная форма
а(«л)=ЛЛ ыЩЦ+^>«г) &
непрерывна на УхУ . Требуется найти минимум квадратичного функционала
ф(иЬта(и'и>-ки^ (^ищ
-О.
на некотором замкнутом выпуклом множестве )СС.'У. Решение вариационной задачи существует, если функционал ^ выпуклый и удовлетворяет условию нестрогой (слабой) коэрцитивности
/У:
<р(и) >+с><;з при 11и11у—> и.в}С
Методы решения таких задач в последнее время интенсивно развиваются, причем особый вклад внесен математиками школы ЖгЛ.Лион-са. Решение (А. экстремальной задачи
<р(и)-№Ш !
(О.Х)
характеризуется условием
-4~ )) ^0 для любого исК
т.е. задача (0.1) эквивалентна решению вариационного неравенства
СС-&*) и-и*) для любого ис]С
где и и)~ .
> л.
В предположении, что квадратичная форма СС(и, Ц.) строго коэрцитивна, т.е. при некотором ^ > О для всех СС^ЛГ
или мало различаются.
Упорядочим множество {иЛ по лексикографическому
возрастанию пар индексов (( ]) -
М-І} > ^<7+1» * •' г , ^н.іІ+1 » ■ ") пн
Обозначив через К полученный вектор, можно привести задачу (2.3) к виду
Л*) = Т<Ах>Х>-кСДХ>-/771>,
(2.4)
где /1 = /!* , ><9 для К=ПК;
В следующем параграфе вопрос о численном решении задачи
ческая, положительно-определенная матрица общего вида.
§ 2. Метод поточечной релаксации
Нетрудно заметить, что в задачах квадратичного программирования, полученных при аппроксимации вариационных неравенств, гессианы минимизируемых функционалов получаются такими же, как и в классических линейных задачах математической физики, т.е. имеют сильно разреженную специальную структуру. Поэтому для численного решения вариационных неравенств также удобны итерационные методы. Для задачи (2.4) ниже рассматривается метод
<=і
могут быть неограниченными)
>’У - означает скалярное произведение векторов.
(2.4) рассматривается в предположении, что / ~ симметри