Приближённые методы решения нелинейных спектральных задач

• Автор: Соловьёв, Сергей Иванович
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 262 с. : ил.

Оглавление
Введение

Глава 1. Задачи в гильбертовом пространстве

§1.1. Линейная задача

1.1.1. Постановка задачи

1.1.2. Существование и свойства решений

§ 1.2. Нелинейная задача

1.2.1. Постановка задачи

1.2.2. Параметрическая задача

1.2.3. Существование и свойства решений

§ 1.3. Рациональная задача

1.3.1. Постановка задачи
1.3.2. Исследование параметрических задач
1.3.3. Существование решений
Глава 2. Конечномерные аппроксимации
§2.1. Линейная задача
2.1.1. Схема аппроксимации
2.1.2. Существование приближенных решений
2.1.3. Исследование сходимости
2.1.4. Исследование погрешности
§ 2.2. Нелинейная задача
2.2.1. Схема аппроксимации
2.2.2. Существование приближенных решений
2.2.3. Исследование сходимости
2.2.4. Исследование погрешности
§2.3. Рациональная задача
2.3.1. Схема аппроксимации
2.3.2. Существование приближенных решений
2.3.3. Погрешность приближенных решений
Глава 3. Итерационные методы
§3.1. Линейная задача
3.1.1. Постановка задачи
3.1.2. Метод бисекции
3.1.3. Метод Рэлея-Ритца
3.1.4. Итерации подпространства
§3.2. Нелинейная задача
3.2.1. Постановка задачи
3.2.2. Метод бисекции
3.2.3. Метод Рэлея-Ритца
3.2.4. Итерации подпространства
§3.3. Рациональная задача
3.3.1. Постановка задачи
3.3.2. Существование решений
3.3.3. Метод бисекции
3.3.4. Итерации подпространства
Глава 4. Дифференциальные задачи
§4.1. Линейные задачи
4.1.1. Одномерная задача
4.1.2. Двумерная задача
§4.2. Нелинейные задачи
4.2.1. Одномерная задача
4.2.2. Двумерная задача
§4.3. Рациональные задачи
4.3.1. Собственные колебания нагруженной балки
4.3.2. Собственные колебания пластины с массами
§4.4. Реализация итерационных методов . . .’
4.4.1. Задача второго порядка
4.4.2. Задача четвертого порядка
Приложение
Литература

Введение
Диссертация посвящена разработке приближенных методов для решения прикладных задач на собственные значения. В качестве приложений рассматривается класс задач, описывающих собственные колебания механических систем с массами. Такие задачи издавна интересовали исследователей. Еще Пуассон в своих мемуарах изучал задачу о движении груза, подвешенного на тонкой упругой нити. Этот факт отмечает А.Н. Крылов в своей книге [75], где указывается, что к подобной задаче сводится теория индикатора паровой машины, крутильные колебания вала с маховиком на конце, исследование разного рода "дрожащих" клапанов и другие. Для теории многих измерительных приборов важно изучение крутильных колебаний нити, к концу которой подвешена масса, например, зеркальце. А.Н. Тихонов и A.A. Самарский [152] отмечают, что особую актуальность задачи подобного типа приобрели в связи с изучением устойчивости вибраций крыльев самолета. Для решения этой задачи необходимо вычисление собственных частот крыла с присоединенными моторами. Простейшая модель крыла - балка переменного сечения с массами. Более точная модель крыла приводит к исследованию собственных колебаний нагруженной пластины. С развитием судостроения, самолетостроения, космической техники, химической и нефтяной промышленности возникла необходимость расчета обо-лочечных конструкций, нагруженных присоединенными элементами: приборами, моторами, элементами автоматики, узлами машин. Хотя присоединенные элемёнты имеют малые размеры, их влияние на устойчивость системы является определяющим. Потребности практики привлекли внимание к развитию методов проектирования таких конструкций [6-8,10,26,44,45,55,82,99,158].
такие, что

ан(ик, г/*) = нЬн(иН, V11) + V ТТсг('1Лг,Л) УуН € 14. (0.30)
Г“' Ог — п г=
Определим билинейные формы а/т(д,.), Ь/т(д,.), 1 ^ п ^ т+ 1 и а)гП[.,.], ЬНп[.,.], 1 < п < т:
акп{^,ик,ун) = а/ф-гДг/1) + ап{ц,и'1,ун),
Ьнп{м, *Л ун) = Ьн(ин,у'1) + Ьп{ц,иь,уп),
а1т[иь,ун] = ан{ик,ук) + ап(ап, ин, ун),
Ьы[у!ун = Ьн(ин,ун) + Ьп+1{ап,ин,ук),
при д е А„, ик,ун £ 14.
Обозначим Ущ = кег П Уд, 1 ^ п ^ т.
Запишем задачу (0.30) для интервала Л„, 1 < т + 1 в виде:
найти Хн & Лп, и" € 14 {0} такие, что
ал„(Лл, п/г, г/1) = АЧ„(А/г, и'1, в/г) Ун* е 14. (0.31)
Введем следующие вспомогательные линейные задачи на собственные значения: при фиксированном д Е А„ найти <д^п^(д) е М, £ 14 {0}, 1 ^ п ^ т + 1 такие, что
аь„(д, мл, г;'1) = <д(/гп)(д)6/от(д, и71, Д7*) Уг>л € 14; (0.32)
найти £ 1,^ е 14„ {0}, 1 ^ п ^ га такие, что
а/т[гД н7г] = А^пп[и ук] Vук е Цт. (0.33)
Задача (0.32) имеет Л4 положительных копечнократных собственных значений <£г-/т^(д), г — 1,2,..., А4, занумерованных с учетом кратности:
0 < ^,т)(д) ^ ^ ^ }(»•