Гармонический анализ на базе дискретного преобразования Виленкина-Крестенсона

• Автор: Машарский, Сергей Михайлович
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 115 с.

Содержание
Введение
Глава I. Дискретное преобразование Виленкина-Крес-тенсона
§1. Предварительные сведения
§2. Первая последовательность ортогональных базисов
§3. Вторая последовательность ортогональных базисов
§4. Быстрое преобразование Виленкина-Крестенсона первого рода
§5. Блочные ортогональные базисы, связанные с прореживанием по частоте
§6. Блочные ортогональные базисы, связанные с прореживанием по времени
§7. Быстрое преобразование Виленкина-Крестенсона второго рода
§8. Связь четырех вариантов факторизации матрицы Виленкина-Крестенсона

Глава II. Дискретное преобразование Хаара-Крестен-сона
§9. Базис Хаара-Крестенсона, связанный с прореживанием по времени
§10. Базис Хаара-Крестенсона, связанный с прореживанием по частоте
§11. Спектральные теоремы в базисах Хаара-Крестенсона 78 §12. Логарифмически автореверсные спектры . .
§13. Три подхода к построению ортогональных вейвлет-
ных базисов
Литература

Введение
Открытие в 1965 г. быстрого преобразования Фурье явилось мощным стимулом для развития дискретного гармонического анализа [36, 15, 5]. Появление цифровой электронной вычислительной техники способствовало проникновению в классический дис-кретный гармонический анализ других ортогональных преобразований, таких как дискретное преобразование Уолша, дискретное преобразование Хаара, дискретное косинусное, пилообразное и другие преобразования [4, 31, 10, 9, 12]. В их числе стоит и дискретное преобразование Виленкина-Крестенсона [30, 10].
В последние полтора десятилетия бурно развивается (в основном, за рубежом) новый аппарат обработки сигналов — вейвлеты (всплески) [34, 45, 40]. Отличительной чертой вейвлетов является их способность одновременно характеризовать как частотные, так и временные особенности сигнала. Отправной точкой лавинообразного развития вейвлетной теории принято считать работы И. Добеши [37, 38] (перевод последней книги на русский язык, с некоторыми исправлениями и дополнениями, совсем недавно вышел в свет под редакцией А. П. Петухова [11]). Успехи этого нового направления чистой и прикладной математики столь существенны, что говорят о «вейвлетной революции». Из огромного количества публикаций по этой теме следует выделить монографии [33, 44, 27, 8] и русскоязычные статьи [29, 28, 26, 3, 13].
Одной из последних наработок вейвлетной теории являются вейвлет-пакеты - - наборы из нескольких вейвлетных базисов. Вейвлет-пакеты позволяют получать детальные частотно-времен-

Другими словами, при возрастании j от 0 до N точка гДД обегает единичную окружность as_i раз. Число as_i естественно принять за частоту дискретной функции
Напомним, что as_j — fcgn5“1 + kns~2 + ... + ks^. Поскольку к = ks^ins~[ + ks_-2ns~2 + ... + ко, то as_] есть целое число, в-ичный код которого равен перевернутому в-ичному коду числа к. Другими словами, = гevs(fc). Таким образом, приходим
к следующему результату: частота функции (j) равна revs(k).
Теперь функции ортогональной мультипликативной системы го, t’i, ..., rjv-i молено упорядочить по возрастанию частоты, положив
^ Гevs(k)(j) 1 к 0, 1, . . . , iV 1.
Очевидно, что частота РаІДД равна к. Формула (4.3) принимает вид

= ^2xs(vevs(k)) РаІДі).