Кинетический подход к решению задач гемодинамики

• Автор: Гаврилюк, Кирилл Валентинович
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 116 с.

Содержание
Введение
1 Кинетическая модель гемодинамики
1.1 Уравнения гемодинамики. Квазиодномерное приближение
1.2 Метод кинетических аппроксимаций
1.3 Метод кинетических аппроксима1дий5щд. уравнений гемодинамики
1.4 Теорема существования
1.5 Теорема сходимости
1.6 Метод гамильтоновых систем
2 Метод точечных маркеров
2.1 Вычислительный алгоритм метода точечных маркеров
2.2 Теорема сходимости
2.3 Аппроксимация граничных условий
2.4 Условия сопряжения
2.5 Сосуды с жесткими стенками
2.6 Метод маркеров для уравнения конвекции-диффузии
3 Результаты численных расчетов
3.1 Сравнительный анализ метода точечных маркеров и разностной схемы
3.2 Особенности численной реализации метода гамильтоновых систем
3.3 Расчет большого круга системы кровообращения
3.4 Математическая модель адгезии тромбоцитов

3.5 Результаты расчетов процесса адгезии тромбоцитов в сосудистой сети
Литература
Введение
Задача математического моделирования течения крови в сердечно - сосудистой системе давно привлекала внимание исследователей. Со времен открытия У. Гарвеем в 17в. системы кровообращения накоплен значительный банк данных о строении и функциях сердечно - сосудистой системы (например,[11]), сформулированы основные принципы организации системы управления кровообращением (например, [16, 71]). И тем не менее многие закономерности деятельности сердечно - сосудистой системы еще далеки от окончательного понимания. Сложность решения задач гемодинамики объясняется прежде всего необходимостью учета большого числа факторов: структуры кровеносного русла, жесткости стенок, калибра сосудов разных генераций ветвления, нервной регуляции, многокомпонентности крови и т.д.
Существует довольно много математических моделей всей системы кровообращения и моделей регуляции потока крови в отдельных органах. Работы по изучению течения жидкости в эластичных трубках появились еще в прошлом веке (например, Weber [92], 1866). В 40х и 50х годах начали появляться статьи с графическим и алгебраическим анализом физиологических механизмов в сердечно - сосудистой системе. Количество уравнений в этих работах редко превышало 8-10 и в основном изучались стационарные процессы. С появлением вычислительной техники модели становились все более детализированными. Появились математические модели сердечно-сосудистой системы в целом. Характер развития таких моделей можно проследить на примере работ А. Гайтона и др. [70, 71]. Начав с простой модели зависимости расхода в почках от баланса крови во всей системе, сердечного выброса и артериального давления [70], авторы в [71] пришли к сложной системе регуляции кровообращения, содержащей около 30 циклов обратной связи. В [71] учтены и нервный фактор (баро- и хеморецепторные механиз-

1.2. Метод кинетических аппроксимаций.

Мы будем использовать в дальнейшем следующие два свойства функции F:
w = jF(t,w)d(, JF((,т)ф(№ = /" (2.3)
для любых значений w и произвольной функции ф(ф).
Задаче Коши (2.1) для квазилинейного уравнения переноса поставим в соответствие задачу Коши для линейного кинетического уравнения переноса.
% + А'и(0% = М > о,/ = f(x,£,t)
(2.4)
. /(®,£, 0) = F(£,u0(x)).
Кратко напомним свойства задачи Коши для линейного уравнения переноса
% + а(0% = 0> t > о,/ = /(ж,£, t)
(2.5)
/(ж,£,0) = /о(ж,£).
Если функция /о(ж, £) дифференцируема по переменной ж, то задача Коши (2.5) имеет единственное дифференцируемое решение, выражаемое формулой
/(*»£»0 = /о(ж -а(00-
В случае негладких начальных данных /о для задачи (2.5) вводят понятие обобщенного решения.
Будем использовать следующие обозначения
R+ - луч [0,+оо];
Loc(R х R х [0,io)) - пространство функций, интегрируемых на любом ограниченном множестве М 6 R х R х [0, to);
6,0Ьоо(Д х Л х [0, to)) - пространство бесконечно-дифференцируемых финитных функций, определенных на R х R х Д+.