Методы спуска для негладких равновесных задач

• Автор: Пинягина, Ольга Владиславовна
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 111 с. : ил.

1 Равновесные задачи и вариационные неравенства. Общие
сведения
1.1 Равновесные задачи, свойства монотонности, существование и единственность решения
1.2 Вариационные неравенства и их свойства
1.3 Приложения равновесных задач и вариационных неравенств
2 Интервальные функции и методы спуска
2.1 Интервальные (оценочные) функции и их свойства
2.2 Метод спуска по интервальной функции в конечномерном пространстве
2.3 И-интервальные функции и их свойства
2.4 Метод спуска по ^-интервальной функции в бесконечномерном пространстве
3 Комбинированные методы спуска и регуляризации
3.1 Метод решения монотонных равновесных задач в конечномерном пространстве
3.2 Метод решения монотонных равновесных задач в бесконечномерном пространстве
3.3 Метод решения монотонных смешанных вариационных неравенств

4 Решение прикладных и тестовых задач
4.1 Решение тестовых задач
4.2 Задача потокового равновесия
Заключение
Литература

В настоящее время математические модели и методы все шире применяются в разнообразных областях человеческой деятельности. Стремясь формулировать и решать все более сложные задачи, исследователи приходят к необходимости разработки все более общих моделей и, как следствие, все более мощных и эффективных методов решения возникающих задач.
В частности, к такому типу общих моделей можно отнести равновесные модели, которые выражаются в виде равновесных задач и вариационных неравенств и позволяют единым образом формулировать и исследовать разнообразные сложные проблемы, возникающие в математической физике, экономике, исследовании операций и других областях.
Вследствие того, что равновесные задачи ставились и изучались параллельно в разных областях науки, разработаны разные формулировки принципов равновесия, теория и методы решения равновесных задач развивались независимо в разных направлениях, в частности, во многих отраслях физики, в теории ценового равновесия, в математических моделях конфликтных ситуаций.
Формулировка равновесной задачи, которую сейчас считают классической, впервые была приведена в работе Х.Никайдо и К.Исоды (см. [45, 84]). Кроме вышеуказанных авторов, значительный вклад в общую теорию равновесных задач внесли работы Фань Цзы [71, 72], Ж.-П.Обена [48], Е.Блюма и В.Эттли [65, 66], Л. Ниренберга [46].
Равновесные задачи и вариационные неравенства тесно связаны с дру-

Отметим, что в случае вариационного неравенства, т.е., когда функция ф представлена в виде ф(и,у) = (0(и),у - и), где (7 : И -> ПТ — непрерывно дифференцируемое отображение, свойство (А2’) выглядит следующим образом:
(VС(и)т(у — и), у — и) > 0,
что соответствует требованию монотонности отображения С.
Из условия (А25) следует, что
(Чифе(и,и) + Ууф£(и,у),у -и) > е\и - и\2.
(АЗ’) Для любого у £ и отображение 7уф(-,у) является монотонным на множестве и.
Из условия (АЗ’) следует, что отображение Ууф£(-,у) является сильно монотонным для любого у £ и на множестве II с константой е.
Теперь сформулируем теоремы, аналогичные теоремам 2.2 и 2.3 из главы 2 (их доказательства также аналогичны).
Теорема 3.2 Пусть выполняется предположение (АЗ’) и е > а. Тогда найдется число а > 0 такое, что
а\и — ие||2 < р${и) Уи £ II,
где и£ — решение задачи 3.3.
Заметим, что вследствие условия е > а это число а = 0.5е.
Следствие 3.1 Пусть выполняется предположение (АЗ’). Тогда лебегово множество Б (и) для любого и £ II является ограниченным.
Теорема 3.3 (Глобальная сходимость). Пусть выполняются предпо-ложения (А1), (А2‘) и (АЗ’), и метод 1 применяется к задаче 3.3. Тогда итерационная последовательность {ик}, построенная этим методом, сходится к единственному решению задачи 3.3.