Быстрое преобразование Фурье и вейвлетные разложения

• Автор: Третьяков, Алексей Андреевич
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 102 с. : ил.

Содержание
Введение
Глава I. Вейвлетные разложения сигналов
§1. Новый подход к алгоритму Кули-Тькжи с прореживанием по частоте
§2. Новый подход к алгоритму Кули-Тьюки с прореживанием по времени
§3. Алгоритм Кули-Тьюки и дискретное преобразование
Хаара
§4. Алгоритм Кули-Тьюки и быстрое вейвлетное преобразование дискретных периодических сигналов
§5. Адаптивная обратка сигналов (общая идея)
§6. Секционирование, ортогональность и перестановки
§7. Быстрое логарифмическое дискретное преобразование Фурье
Глава II. Вейвлетные разложения двумерных сигналов (изображений)
§1. Быстрое двумерное дискретное преобразование Фурье

>2. Быстрое дискретное преобразование Хаара пространства изображений
|3. Быстрое вейвлетное преобразование дискретных периодических изображений
;4. Быстрое двумерное дискретное преобразование Уолша. 81 |5. Примеры сжатия изображений на основе быстрого преобразования Уолша
Литература

Введение
Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) играет фундаментальную роль в цифровой обработке сигналов и изображений. В этих областях вычисление ДПФ является массовой операцией, а потому требует наличия быстрых и эффективных алгоритмов его реализации. Впрервые алгоритм быстрого вычисления ДПФ для сигнала, размерность которого равна степени двойки, был предложен Кули и Тьюки в 1965 году [22]. Позже появились быстрые алгоритмы ДПФ для сигналов других размерностей [1, 5]. Одним из вычислительных подходов к ним служит матричная факторизация. Другой подход связан с вычислением значений полинома, коэффициенты которого суть компоненты исходного сигнала, в точках единичной окружности.
Новым аппаратом обработки сигналов различной природы является кратномасштабный анализ, основанный на вейвлетах (всплесках), ставших широко известными после работ И. Добеши [23, 24]. Суть его заключается в возможности одновременного анализа временной и частотной компонент сигнала и рассмотрения их с разной степенью подробности (в разном масштабе).
Вейвлетная теория - новая область чистой и прикладной математики, активно развиваемая за рубежом в последние десять лет [17, 28, 30, 31, 35, 40]. Успехи этого направления столь существенны, что говорят о ’’вейвлетной революции”. Это связано с простотой построения основанных на всплесках эффиктивных алгоритмов, таких например как описанные в [16, 18, 31, 32, 37], а также широтой их приложений в самых разных областях, среди

Базовой будет следующая формула
МЛ + Мз - N/2) = 6„М) = мм (4-1)
Построим последовательность сигналов {Дв(&; в = 0,1
с помощью рекуррентного соотношения
Мк'Л) = М.? - к), к = 0,1
(4-2)
к = 0,1
Согласно (4.1), дД&Д) — 2~а63 — &). В частности, //„(0;,?)
1/Л4 Положив «0’) = (_;), получим
{к) = и~к), к = 0,1
Обозначим через V) линейную оболочку, натянутую на сигналы {в(;)}£о1- В силу (4.3), к = Ся8. Отметим, что 14 Э Ух О ... О 14. Здесь 14) = С/у и 14 — одномерное пространство комплексных констант.
Построим еще п последовательностей сигналов {г/Д/С по формуле
??#;.?) = lVs-i(км') - Цв-1 (& +А4;4)], (4.4)
к = 0,1
Согласно (4.3)
ъ(к;Л = Ws-iij -к) - (ра-г{у - к- ЛГв)] =: ф8(] - к), (4.5)