Прямой метод решения системы сингулярных интегральных уравнений с ядром Гильберта

• Автор: Шуляев, Денис Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Минск
• Количество страниц: 110 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ГЛАВА 1. СИММЕТРИЧНАЯ КАНОНИЧЕСКАЯ МАТРИЦА
ВЕКТОРНОЙ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО СОПРЯЖЕНИЯ
§1.1. Решение векторной задачи линейного сопряжения в
классе симметричных вектор-функций
§ 1.2. Связь между двумя симметричными каноническими
матрицами векторной задачи линейного сопряжения
ГЛАВА 2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ЕДИНСТВЕННОСТИ ДЛЯ СИСТЕМ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЯДРОМ ГИЛЬБЕРТА
§ 2.1. Векторные “спектральные соотношения” для сингулярных интегралов с ядром Гильберта
§ 2.2. Постановка задачи единственности для характеристического векторного уравнения с ядром Гильберта
§ 2.3. Постановка задачи единственности для полного векторного уравнения с ядром Гильберта
ГЛАВА 3. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЯДРОМ ГИЛЬБЕРТА
§ 3.1. Приближенное решение характеристической системы сингулярных интегральных уравнений с ядром Г ильберта
§ 3.2. Приближенное решение полной системы сингулярных
интегральных уравнений с ядром Гильберта
§ 3.3. Оценка погрешности приближенного решения системы сингулярных интегральных уравнений с ядром Г ильберта
ПРИЛОЖЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ
В работе рассматривается система сингулярных интегральных уравнений с ядром Гильберта (векторное уравнение) вида
4444 - (.V, ст)<р(сг)д?у ёст = /(,?), (0.1)
44=М4£/ч1> М{а,(т) = (т0 (з,<т))" - заданные вещественнозначные матрицы, элементы которых 2д-периодичны и непрерывны по Гельдеру (последняя по обеим переменным), /(4= (/!(?),,/44У ” заданный, 44 = ('Л(4’-->|А»(4)Г _ искомый векторы из того же класса, 5 е [0,2л-]. Интеграл понимается в смысле главного значения по Коши.
Скалярные уравнения вида (0.1) появились вслед за интегральными уравнениями Фредгольма в трудах А. Пуанкаре, Д. Гильберта в начале нашего столетия. Общие свойства этих уравнений были установлены Ф. Нетером в 1921 году и известны теперь как теоремы Нетера. Тесные связи этого уравнения с различными задачами математической физики и задачей линейного сопряжения теории функций комплексного переменного инициировали интенсивное развитие теории таких уравнений. Весомый вклад в становление этой теории внесли Т. Карлеман, И. Племель, Ф.Д. Гахов, С.Г. Михлин, И.Н. Векуа,
Н.И. Мусхелишвили. К настоящему времени теория скалярного уравнения (0.1) приняла законченный вид и изложена в [18,38,58,79].
Параллельно развивается теория систем сингулярных интегральных уравнений с ядром Коши, которая достаточно полно изложена в монографиях [10,38,45,79]. О свойства векторного уравнения (0.1) в этих работах говорится лишь в описательном плане. Каких-либо конкретных исследований, относящихся к уравнению (0.1) не проведено, однако это не умоляет его прикладного значения [6,7,83,84].
Интенсивное развитие теории сингулярных интегральных уравнений в равной мере способствовало развитию методов их приближенного решения. К настоящему времени число вышедших в свет публикаций, посвященных решению названной проблемы, огромно. В большинстве этих публикаций на сингулярные уравнения переносятся методы решения уравнений Фредгольма (метод механических квадратур, метод коллокации, метод Галеркина и др.). Большинство таких результатов изложено в обзорных статьях [72,78], а также в монографиях [5,16,25,26,32,44].
Вопрос построения приближенного решения векторного уравнения с ядром Коши рассматривается в [25,46,48,74], однако там ис-

следован лишь случай, когда все частные индексы канонической матрицы равны нулю. В работах [62-68] предложен новый прямой метод приближенного решения сингулярного уравнения. Матрица системы линейных алгебраических уравнений, из которой находится приближенное решение сингулярного уравнения, имеет треугольную форму, что позволяет находить решение системы через правую часть по рекуррентным формулам. В настоящей работе этот метод распространяется на уравнения вида (0.1).
После выполнения преобразования над ядром сингулярного интеграла
M(s,cr)ctg = M(a,a)ctgY~ + (M(s,a)-M(a,cr))ctg-
и введения обозначения
{m{s,ct)-М(а,<7 ))ctg = /ф,ст) = (/гД.у,ст))=1,
B(s) = М(s,s), B(s) = (bkJ (s)Yk j=i, уравнение (0.1) запишем в форме
A(s}p(s)-j~ j"ß(cr)cp(a)ctg~-da-j'K{s,cr)(p(o)da = f(s). (0.2)
s e [0,2ят].
В диссертационной работе предлагается метод приближенного решения системы сингулярных интегральных уравнений вида (0.2) основанный на аналитическом продолжении и теории вычетов. Такой метод позволяет строить эффективные вычислительные схемы для систем сингулярных интегральных уравнений с ядром Гильберта при произвольных частных индексах.
Перейдем к более подробному изложению содержания работы. Как уже указывалось выше, имеется тесная связь между системой (0.2) и задачей линейного сопряжения, решения которой ищутся в классе симметричных вектор-функций.
Глава 1 посвящена доказательству существования симметричной канонической матрицы векторной задачи линейного сопряжения, решения которой ищутся в классе симметричных вектор-функций. В этой главе устанавливаются свойства канонической матрицы и построено решение упомянутой выше задачи. Первая глава имеет принципиальное значение для всего последующего изложения.
Основным результатом § 1.1 является доказательство существования симметричной канонической матрицы задачи линейного сопря-

4|(-2)Л(Рг-,(О-К(ст)/Лг)4-=2Д02-'(ЩЙ/,(()-2П„/1')-2П1,1й.
ш , х х V х}
Учитывая еще равенства
1 |а(г)Х+ (г )/„ (г)— = Яе/ Л(г)Х+ (г)/я (г)1'

9— !Л()Х" (г)/, (г)— = - Ие/ Л(г)Х” (г)/; (г)-I X V
- |л(г)(х+ (г))-1 /„ (г) = Л(а)(х+ (г))-1 /„ (г)Г),

2л г
из которых следуют соотношения
--1. }2/Л(г)й(сг)г(ст)/л (т)— = г г
= %/Л(г)Х+ (г)/„ (2)11 + ЯезГЛ(г)Х~ (г)/я (г)-1, (2.1.7)
2'т/ |(- 21)к(т)г-1 {о)В' (ст)/„ (г)

Л(2)(х-(г))-'/.(г)1), (2.1.8)

а также тождество
сг-5 , 2<Уг Вт с?# Во
2 т-? г
приходим к формулам (2.1.1), (2.1.2).
Замечание. Из (2.1.7), (2.1.8) вытекают следующие формулы вычисления регулярных интегралов

- |л(г)5(о-)г(<т)/„(г)й?(
Л(2)Х+ (г)/, (*)-! + КезГ.А(г)Х (г)/я (г)-
- ]к(т)2-'(о)В'(о)/1:{т)Во
, (2.1.9)