Наилучшие оценки в методах аппроксимации производных функции, заданной с погрешностью

• Автор: Скорик, Георгий Григорьевич
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 95 с. : ил.

Глава I Предварительные сведения

§1. Усредняющие ядра интегральных операторов и их свойства

§2. Оценка нормы оператора свёртки

§3. Дробные производные и их свойства

§4. Оптимальные методы и их связь с задачей Стечкина

Глава II Устойчивая аппроксимация производной т-го порядка на основе метода средних функций

§1. Оценка погрешности в С(—оо, оо)

1.1. Оценка погрешности метода сверху

1.2. Исследование точности мажорантной оценки

1.3. Проблема оптимальности метода

§2. Оценки в пространствах суммируемых функций

2.1. Постановка задачи
2.2. Оценка погрешности метода сверху
2.3. Исследование точности мажорантной оценки
2.4. Оптимальность по порядку
§3. Вычисление смешанной производной в пространстве С(Е2)
§4. Аппроксимация производных функции, заданной на отрезке

Глава III Устойчивая аппроксимация дробной производной
§1. Метод средних функций
§2. Вариационный метод регуляризации
Глава IV Численные эксперименты
§1. Некоторые примеры использования метода средних функций для численного дифференцирования
§2. Использование дробной производной в методе Тихонова
для регуляризации уравнений Фредгольма первого рода
Литература

Во многих областях науки и техники возникают некорректно поставленные задачи. Эти задачи обычно формулируются в виде операторных уравнений 1-го рода или в виде задачи вычисления значений неограниченного оператора. Напомним соответствующие определения корректности и регуляризирующего алгоритма для задачи вычисления некоторого неограниченного линейного оператора Т,
Ту = х, (В.1)
действующего на паре нормированных пространств У, X (см. [21]).
Определение В.1. Задача (В.1) называется корректной по Адама-ру, если выполнены условия:
1. 2)(Т) = У, т.е. область определения оператора Т есть всё пространство У;
2. Т — однозначный оператор (каждому у соответствует единственный элемент х = Ту);
3. оператор Т непрерывен (ограничен).
Определение В.2. Задача (В.1) называется некорректно поставленной, если нарушено по крайней мере одно из условий 1-3.
Обычно идёт речь о нарушении условий 1,3.

где 1 ^ д ^ сю. Погрешность метода аппроксимации (регуляризации) Я на классе М” для задачи дифференцирования (2.17) характеризуется величиной
ъ{Т', Я;М") = эир{||Яуг — Ту||£г: ||у - |й||£р ^ «У,
?/е М”, € Яр(-оо,оо)}. (2.19)
Ниже в разделе 2.2 дается оценка сверху погрешности меюда средних функций, т.е. величины 7г(Т;Я;М”), и устанавливается его оптимальность по порядку при некоторой связи а = а(5) и г ^ р, у. В разделе
2.3 доказывается, что при г = оо полученная в разделе 2.2 мажорантная оценка является точной, т.е. получена точная формула для величины максимальной погрешности метода средних функций на классе М”.
2.2. Оценка погрешности метода сверху
Введем обозначения:

носителем отрезок [-1,1] «, в случае п > 1, Ьг = 0 для любого г: 1 ^ г ^ п — 1. Пусть г ^ р, г
Тогда для РА (1.8) задачи (2.17) справедлива оценка
К = / «(в)®'*, мт = |Мт)||ь
ТПр-Г+ут

N >
Теорема 2.4. Пусть функция и € С^(—оо, оо) имеет своим