Новый подход к построению и анализу алгоритмов метода частиц для уравнения Больцмана

• Автор: Лукшин, Андрей Васильевич
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1997
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 280 с.

ЖОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.В.ЛОМОНОСОВА
эъкультет вычислительной математики и кибернетики
кафедра вычислительных методов
На правах рукописи
ЛУКШИН АНДРЕЙ ВАСИЛЬЕВИЧ УДК 519.6:621
НОВЫЙ ПОДХОД К ПОСТРОЕНИЮ И АНАЛИЗУ АЛГОРИТМОВ МЕТОДА ЧАСТИЦ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА
01.01.07 - вычислительная математика
Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
Москва
Содержание
Основные обозначения
0 ВВЕДЕНИЕ
1 Основные понятия и принципы построения алгоритмов метода частиц для уравнения Больцмана
1.1 Основы математической теории кинетического уравнения Больцмана
1.2 Математические основы метода частиц решения уравнения Больцмана
1.3 Метод частиц как метод численной реализации динамических схем
2 Пространственно-однородное уравнение Больцмана
2.1 Уравнение Больцмана для смеси газов
2.2 Каноническое представление оператора столкновений
2.3 Динамические схемы для системы уравнений Больцмана
2.4 Численные методы реализации динамических схем
3 Пространственно-неоднородное уравнение Больцмана
3.1 Каноническая аппроксимация оператора столкновений в пространственно-неоднородном случае
3.2 Динамические схемы метода частиц
3.3 Метод расщепления как метод численной реализации динамических схем
3.4 Стохастические алгоритмы метода частиц решения уравнения Больцмана

3.5 Стохастические алгоритмы решения уравнения Больцмана
для смеси газов
4 Математическое моделирование течений многокомпонентного разреженного газа
4.1 Учет внутренних степеней свободы. Модель Ларсена - Бор-
гнакке
4.2 Решение задачи температурной релаксации
4.3 Решение задачи о релаксации реагирующей смеси
4.4 О выборе ветвей рассеяния
4.5 Решение задачи о структуре ударной волны
4.6 Решение задачи обтекания транспортного аппарата разреженным газом
5 Стохастические алгоритмы математического моделирования полупроводниковой плазмы
5.1 Постановка задачи
5.2 Обобщенное уравнение Больцмана для многодолинного полупроводника
5.3 Основные свойства уравнения Больцмана
5.4 Динамическая схема метода пропорционального представительства
5.5 Динамическая схема с индивидуальными весовыми множителями
5.6 Численная реализация динамических схем в случае многодолинного полупроводника
5.7 Результаты численных расчетов в рамках многодолинной модели
5.8 Приложения к главе
Литература
34 Глава 1. Основные понятия и принципы построения алгоритмов.
(v! - v + Ф (v, Vi, в), Ф (цьц,0))
Используя модифицированную функцию скачка и геометрический шаблон {©;m( d6*)} перепишем интеграл столкновений в виде:
QUJ) = JJ[f(V')f(V;)-f(v)f(v1)]m(de)dv1(1.13)

который мы будем называть каноническим.
Здесь V', V[ ~ скорости частиц после парного ’’возможного” столкновения отвечающего модифицированной функцией скачка:
V1 = v + (v,vi,d), V[ — vi + Ф (hi, v, в). (1-14)
Заметим, что аналогичный канонический вид интеграла столкновений мы получили бы, если в качестве исходного геометрического пространства выбрали бы пространство прицельного параметра. Канонический шаблон был бы тогда другим. Это означает, что выбор канонического представления оператора столкновений не единствен.
Рассмотрим случай, когда функция рассеяния представима в виде
h{y,vx,£) = Е h{v,vu£) + $кЛМоо (1,0) 1 (1-15)
<к<1
где Мк суть компактные множества в Ж ® И ® и М — П С Мк ,
1 <к<1
где С Мк - дополнение множества М, П М3 = 0 (г ф j), причем характеристические функции %Mk(viviiO симметричны по v, v. Относительно функций hk{v,v i, £) (ветвей функции рассеяния) сделаем следующие предположения:
1) hk(y,vi,£) > О ; 2) hk(vi,v,0 = hk(v,vi,С);
3) hk < Hkwk(), где
Hk = Const > 0,wk(£) > 0, fs(2) wk(£)cr( d£) = 1.
Соотношение 1.15 выполнено, например, при 1 = 1, М = 0, hi = h. В то же время представление 1.15 является достаточно общим; в частности, ему отвечает подход, связанный с аппроксимацией h ступенчатой функцией со сглаженными индикаторами [45]. Выберем пространство П как