Построение и анализ гибридного РК-метода

• Автор: Щур, Ольга Федоровна
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 69 с.

Содержание
Введение

0.1. Стратегия метода

0.2. Порядок аппроксимации и упрощающие условия

Бутчера

0.3. Устойчивость методов Рунге-Кутты

0.4. Обзор методов Рунге-Кутты

0.4.1. Суперточные РК-методы

0.4.2. Нильпотентные РК-методы

0.5. Обзор диссертации по главам

Глава 1.
Решение нелинейных РК-систем методом предобуславливания
1.1. Реализация РК-метода
1.2. Алгоритм Бутчера для однократно неявного РК-метода
1.3. Идея предобуславливания
1.4. Исследование предобуславливателя
1.5. Численные эксперименты
Г лава 2.
Построение обобщенного преобразованного РК-метода
2.1. Построение преобразованного РК-метода
2.2. Обобщение преобразованного РК-метода
2.3. Алгоритм построения обобщенного преобразованного
РК-метода
2.4. Численные эксперименты
Глава 3.
Гибридный РК-метод - новая стратегия решения систем ОДУ
3.1. Описание стратегии
3.2. Описание драйвера
3.3. Обоснование цели создания гибридного РК-метода
3.4. Численные эксперименты
3.5. Выводы из численных экспериментов
Заключение
Литература

Введение
0.1. Стратегия метода Рунге-Кутты.
Пусть дано обыкновенное дифференциальное уравнение
^Г = /(СК0), *е[0,П у(0) = уо, (1)

и требуется найти его приближенное решение уп в дискретных точках 1п, /„ е [0,7]. В методе Рунге-Кутты ([21],[29],[32]), если решение уп в точке известно, то для нахождения приближенного решения уп+} в точке = /„ + т последовательно находятся приближенные решения ?], в промежуточных узлах с е
Таким образом, если формально проинтегрировать уравнение (1) на интервале [/„,£,], г = 1(1)от +1,

Ж,) = л + /(иу{*)№,

и квадратурную формулу построить на узлах £ с весами р , / = 1(1)»?, то решение у„+1 будет описываться системой нелинейных алгебраических уравнений

Vo =J„>
Vi =Уп + rzL Mi > 1 = l0)m+1>

с обозначениями

^=<„+Л^ г = 0(1)от +1,
Л> = 2-, ^ й;+] > 2-т+] — 1,
где от- число разбиений интервала . Будем говорить, что задание
параметров Д?, Я,., от определяет от -стадийную РК-схему.
Введем матричные и векторные обозначения:

А Рп А
Рп Р 22 ••• Р 2т
ml Рm2 "' Рт
^г>:“ (Рт+, і■ * * > Рт+,т X
V = (Vi,—*Vnf, f = (/,■■■ J„, )Т, e = 0,...,i)r.
Тогда система (2) запишется в виде:
?! = у „е+гВ/,
У*, і =Уп + *Ьт+J-
На практике интерес представляет векторная форма уравнения (1), в которой y(t) и f(t,y) являются векторами порядка N:
f(t,y) = (fm(.t,y),...,fm(t,y))T ■
Поэтому в (2) под величинами уп, 77,, /. таюке следует понимать векторы:

л=(тЛо,...,у;"чоу,

(ЛОчГ

MeTOfl HtK)T0Ha-Pa4)C0Ha c npenoOycjraBjiHBaHHeM /pia cynepioHHoro PK-MCTO/ia Paa<> 1: SsmK • Aij = Gkaao
m Illar MeTOfl Paso 1 Ha IIHK Iter x y HHTepBaae[0; 1] rjiaflKHH X y Meio/r Pazto 1 Ha HHTepBaxte [1; 10] Iter X y
m=2 0.001 2080 icr7 10'6 10'8 10'8 18002 10” 10'"
0.005 473 1(T6 10'4 10-6 10‘8 3600 10-9 lO'
0.01 319 l m=3 0.001 2077 10“8 10'7 10'8 10~8 18002 10"”
0.005 470 10'6 10'5 10'6 10“6 3600 10'9 IQ-
0.01 310 icr6 10'5 10-6 10"6 2527 10’9 10'
m=4 0.001 2077 10'7 10'6 10'8 10“9 18002 10'" 10'"
0.005 471 lO'6 10'5 10 6 10'6 3600 10'9 lO'
0.01 307 10'7 10'5 10'6 10'6 2525 icr9 10'
m=5 0.001 2077 10"7 10~6 10'8 10'9 18002 10'" 10'"
0.005 471 10'6 10'5 10'6 10"6 3600 10'9 10
0.01 304 10'7 10'5 10 6 10"s 2527 10~9 10'
m=6 0.001 2078 10'7 10'6 10'8 10"8 18002 10'" 10'"
0.005 471 10~7 10'5 10'6 10's 3600 10-9 iO'io
0.01 302 10'7 10'6 10'6 10'6 2523 10‘9 10'
m=7 0.001 2079 10'7 10'6 10'8 10'8 18002 10'" 10'"
0.005 468 10'7 10~5 10'6 10“6 3600 10'9 lO'
0.01 302 10'7 10'5 10'6 10“6 2523 10'9 10'
m=8 0.001 2080 10'7 10"5 10'8 10'8 18002 10'" 10'"
0.005 467 icr7 10'5 10“6 10'6 3600 10'9
0.01 302 icr7 lO'5 10'6 10 6 2523 I O'9 10'
m=9 0.001 2080 10 7 10'6 10'7 10'8 18002 10'" 10'"
0.005 464 10 7 10'6 10 6 I O'6 3600 10'9 IQ-
0.01 301 10 8 10'5 10 6 10'6 2521 10'9 10'
m=10 0.001 2081 10'8 10'6 10'7 10"s 18002 10'" 10'"
0.005 462 10'7 10'fi 10 6 10'6 3600 10'9 10
0.01 299 10'8 10'6 10 6 10~6 2521 10'9