Точные оценки погрешности локально-одномерных и векторных методов решения уравнений теплопроводности

• Автор: Зайцева, Светлана Борисовна
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 144 с. : ил.

Оглавление
Введение
Глава 1. Экономичные методы порядка аппроксимации 0(т + Ь?)
§1. Постановка задачи. Обозначения
§2. Операторные неравенства. Оценки решений двухслойных
разностных схем и другие вспомогательные утверждения
§3. Оценки погрешности сверху локально-одномерных
методов
§4. Векторные методы расщепления. Уравнения для компонент
решения. Выбор начальных условий
§5. Оценки погрешности сверху векторных методов
§6. Оценки погрешности снизу локально-одномерных и
векторных методов
Глава 2. Экономичные методы порядка аппроксимации 0(т2 + /г2)
§1. Используемые пространства, операторные неравенства
и другие вспомогательные сведения
§2. Оценки погрешности сверху 2п-этапных
симметризованных локально-одномерных методов
§3. Оценки погрешности снизу 2п-этапных симметризованных
методов
§4. Оценки погрешности для некоторых модификаций
симметризованного метода
§5. Оценки погрешности 3-этапного симметризованного
локально-одномерного метода
§6. Оценки погрешности векторного попеременнотреугольного метода
Заключение
Литература
Приложение
Приложение

Введение
Экономичные методы успешно применяются для решения нестационарных многомерных задач математической физики. Им посвящена обширная литература [18,38,44-46,53,62]. Эти методы являются неявными, характеризуются безусловной устойчивостью и требуют при переходе с одного временного слоя на другой числа арифметических действий, пропорционального числу узлов сетки. В экономичных методах процесс отыскания приближенного решения многомерной задачи разбивается на несколько этапов, которые представляют собой процесс отыскания решения более простых задач (как правило, одномерных).
Для параболических задач среди экономичных методов порядка аппроксимации 0(т + Ь?) можно выделить семейство локально-одномерных методов, обладающих аппроксимацией исходного уравнения только в суммарном (обобщенном) смысле, и семейство векторных методов расщепления, обладающих аппроксимацией в обычном смысле. Среди экономичных методов порядка аппроксимации О (г2 + к2) можно выделить двуциклические методы покомпонентного расщепления и симметризованные локальноодномерные методы, обладающие аппроксимацией исходного уравнения в суммарном смысле (как и локально-одномерные методы порядка аппроксимации 0(т + Л.2)), а также векторный попеременно-треугольный метод расщепления, обладающий аппроксимацией в обычном смысле. К экономичным методам относятся также метод переменных направлений, методы с расщепляющимся оператором и др. (см., в частности, [18,19,64,65,77]). Отметим, что в [43,76] рассмотрены явные методы, в которых существенно ослаблено стандартное условие устойчивости.
Построение и изучение локально-одномерных методов порядка аппроксимации 0(г+/г2) проводятся в работах [46,53,62], а также в работах [10,15,16, 39,40,61,63]. Симметризованные локально-одномерные методы изучаются в работах [46,47,52,59,60,72,79], см. также [14,66,78]. Изучение двуциклических методов покомпонентного расщепления, а также их применение к разнообразным задачам можно найти в [44-47,48].
Векторные методы порядка аппроксимации О (г--Ъ?) предложены срав-

нительно недавно. Их построению, изучению и применению к различным нестационарным задачам математической физики посвящены работы [1-4,12,13,55,68]. Отметим, что они применяются и в качестве итерационных методов решения эллиптических задач [54,69,71]. Векторный попеременнотреугольный метод расщепления сформулирован в работе [12] (он основан на идее из [51], см. также [37,56]).
Существуют варианты локально-одномерных и векторных методов порядка аппроксимации 0(г + к2), а также симметризованных локально-одномерных методов порядка аппроксимации О {г2 + к2), вычисление вспомогательных функций в которых при переходе с одного временного слоя на другой может выполняться независимо друг от друга, что дает дополнительную гибкость с точки зрения реализации на ЭВМ с параллельной архитектурой. Обсуждение распараллеливания экономичных методов проводится, в частности, в работах [11,57,67].
Вопросы устойчивости и аппроксимации экономичных методов подробно изучены в литературе; оценки погрешности этих методов даны, в основном, в предположении достаточной гладкости решения, см. например, [18,46,53] и [13,72-75]. Вопрос же получения оценок погрешности (и обоснования их точности) в случае негладких данных, а также тесно с ним связанный важный вопрос оптимальности этих методов недостаточно исследован даже для параболических задач. Отметим следующие результаты. Для случая обобщенных решений сходимость локально-одномерных методов доказана в работе [80]; в работах [39,40] выводятся некоторые оценки погрешности одного локально-одномерного метода. В работах [68-71] получены оценки погрешности векторных методов расщепления для уравнения теплопроводности в предположении, что точное решение задачи и £ (О) и при условии
т = от2).
Впервые оптимальность одного из методов с расщепляющимся оператором для уравнения теплопроводности с правой частью / £ Сх(0), А £ (0,1) доказана в [7,8]. Оптимальные оценки погрешности чисто неявной проекционно-разностной схемы при условии т = 0(|/г|2) содержатся в [5,6,50]. В работах [29,30,32] доказана оптимальность некоторых экономичных методов (в основном, схем с расщепляющимся оператором) и чисто неявной

§3. Оценки погрешности сверху локально-одномерных методов
1. Изучим два известных локально-одномерных метода различной кон-

струкции для задачи (1.1)—(1.3). Считаем, что / = /(*).

В локально-одномерном методе с распараллеливанием [15,16] (а также [10,39,40]) приближенное решение у (которое определено на сетке шн х шТ) и вспомогательные функции у и), г = 1, гг (которые определены на сетке Тйн х шт) удовлетворяют для т = 1, М уравнениям
У(г)т Ут—1 . гЬ,т И го ч
аг- + ЛгУ(;)т = на ш , (3.1)
У(г)тдшн = 0) г — 1,71, (3-2)

2/т = ] агУ(г)т) 2/0 = г
Здесь о; > 0 - постоянные (не зависящие от т и /г), ]Т)Г=1 — 1-
В стандартном последовательном локально-одномерном методе Н.Н.Яне-нко [62,53,46] функции у и , г = 0,п удовлетворяют для т = 1,М уравнениям
У(г)т — У(г — 1)тп . £Н,т Н /о лч

У(£)т|эаЛ = 0, г = 1, гг, (3.5)
2/(0)т = Ут—1; Ут = У(п)т’> У0 = 0
Далее методы (3.1)-(3.3) и (3.4)-(3.6) будем называть методами (А) и (Б) соответственно. Заметим, что решения методов (А) и (Б) принадлежат пространству Д/цт-
Сформулируем оценки погрешности методов (А) и (Б) в норме Ь2{(д). Теорема 3.1. Для методов (А) и (Б) верна оценка погрешности
Над - у\ыа) с(т + Н2)(ЕШь2(сг) + (3-7)