Вычисление параметров функционалов погрешностей кубатурных формул с пограничным слоем в неизотропном пространстве

• Автор: Юмова, Цыренханда Жэмбэевна
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Улан-Удэ
• Количество страниц: 127 с.

РАЗДЕЛ I. Построение элементарных кубатурных формул и кубатурных формул с регулярным пограничным слоем общего вида

ПЛ.1 Пространства IV”' (Еп), (О)

ПЛ.2 Общий вид линейного функционала погрешности в IV ” (Еп )

П. 1.3 Элементарные кубатурные формулы общего вида и периодические функционалы погрешностей

ПЛ.4 Построение кубатурных формул с регулярным пограничным слоем общего вида

ПЛ .5. Экстремальная функция функционала погрешности

РАЗДЕЛ II. Оценка норм функционала погрешности и построение функционалов погрешностей кубатурных формул

П.2.1 Вариационная задача для оптимального периодического функционала погрешности

П.2.2 Оценка сверху нормы функционала погрешности кубатурных формул с регулярным пограничным слоем

П.2.3 Оценка снизу нормы функционала погрешности кубатурной формулы общего вида

П.2.4 Асимптотическая оптимальность нормы функционала погрешности кубатурных формул в пространстве IV (Еп) при
нечетных тк
РАЗДЕЛ III. Представление нормы функционала погрешности решетчатой кубатурной формулы с предельным значением показателя суммируемости
П.3.1 Пространство }¥т (Еп)
П.3.2 Представление нормы функционала погрешности решетчатой кубатурной формулы с предельным значением показателя суммируемости
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА
ПРИЛОЖЕНИЕ

1° Кубатурными называем формулы для вычисления объемов тел в многомерном пространстве, по аналогии с квадратурными формулами, позволяющими приближенно решать задачу о квадратуре плоских фигур, т.е. о вычислении их площадей. Теорию кубатурных формул, как новое направление математики шестидесятых годов прошлого века, заслуженно связывают с исследованиями академика С.Л. Соболева. С.Л. Соболевым изданы более трех десятков работ: первую работу по кубатурным формулам он опубликовал в 1961 году, последнюю - в 1996, в том числе две фундаментальные монографии [74,82].
В одномерном случае теория квадратурных формул является хорошо разработанной областью: общеизвестны формулы Гаусса, а функциональные методы стали широко применяться, начиная с работ академика С.М. Никольского и первого издания его книги «Квадратурные формулы» [46]. Изложенные в ней результаты, на наш взгляд, являются самыми сильными, и относятся к квадратурным формулам на классах функций одной переменной. С.М. Никольский минимизировал
по узлам и весам для Ф - единичных шаров наиболее употребительных банаховых пространств функций одной переменной. Кроме С.М. Никольского различные постановки экстремальной задачи для функции одной переменной в своих исследованиях рассматривали В.И. Крылов [34], Н.П. Корнейчук [29], А. Сард [72], А. Страуд [84] и другие.
Результаты по весам оптимальных квадратурных формул, изложенные в [74], обобщили некоторые результаты А. Сарда [72]. Ряд вопросов, возникающих в процессе реализации предложенного С.Л. Соболевым алгоритма отыскания весов оптимальных квадратурных формул, решен М.Д. Рамазановым и Х.М. Шадиметовым [69]. Квадратурные формулы Грегори и типа Грегори ис-
(1)
12 1 л _ ( П
С. і = с, С, = — = —, С, 2 = С і с,
и 1 1 23 3

Тогда кубатурная формула перепишется следующим образом:
і і
І(р{хх,х2)сіххсЬс2 « С00^(0,0) + С01^(ОД) + С02К0,2) +

+ ^ю^(І.О) + Спр(1,1) + С,2^(1,2).
Подставив вычисленные значения коэффициентов из равенств (1.3.7), построим элементарную кубатурную формулу на плоскости для функционала (1.3.6), ортогонального многочлену степени =1 по переменной х, и ортогонален многочлену степени т2=.2 по переменной х2:
її 5 1 ( 1
\(р{хх,х2)с1хх(Ьсг я—^(0,0)+ -^(0,1)+ ^(0,2) +
00 24 З V 24 У
+ ^(1,0) + ^(1,1) + (- ^(1,2). (1.3.8)
В приложении 2 приведены примеры, демонстрирующие, что построенные элементарные кубатурные формулы на плоскости точно интегрируют многочлен степени Ш по переменной Х, и многочлен степени т2 по переменной х2.
Далее эта конструкция обобщена на многомерный случай:
11 і
(1,<р)= (р(х)с1х- ^Сг<р(Г)= 1• (р{хх,х2,..,хп)сіх1х2---хп
А ГЄВ0 0 0
- Е I - Х7С„ '»Гг Г.). (1-3-9)
п =0^2=0 уп
где (ік,хкк^ = 0, ак=0,1,..,тк, к = 1,2 п и коэффициенты СУк определяются из следующей системы:
Уь =0 а*+1
Теперь построим периодический функционал погрешности общего вида. Для этого рассмотрим элементарную квадратурную формулу общего вида