Программные средства сравнительного исследования численных методов линейной алгебры и решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений

• Автор: Сениченков, Юрий Борисович
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Ленинград
• Количество страниц: 100 c. : ил + Прил. (80 с. : ил.)

ГЛАВА I. СОВРЕМЕННЫЕ ТЕСТОВЫЕ НАБОРЫ

ГЛАВА 2. ГЕНЕРАТОРЫ ТЕСТОВЫХ МАТРИЦ И СИСТЕМ

2.1. Особенности построения тестовых матриц и систем с помощью ЭВМ

2.2. Построение несимметричных матриц с заданными собственными числами

2.3. Построение симметричных матриц с заданными собственными числами

2.4. Построение тестовых линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений

ГЛАВА 3. ПРИМЕРЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА

ЛИНТЕСТ В ЧИСЛЕННЫХ ЭКСПЕРИМЕНТАХ

3.1. Проверка работоспособности комплекса

3.2. Применение комплекса ЛИНТЕСТ для сравнения по точности алгоритмов вычисления матричной экспоненты
3.3. Применение комплекса ЛИНТЕСТ для сравнения по точности алгоритмов решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений
3.4. Применение итерационных методов при реализации неявных методов решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА
ПРИЛШЕНИЕ I. Акт о внедрении программного комплекса
ЛИНТЕСТ в НИИВЦ МГУ
ПРИЛШЕНИЕ 2. Акт о внедрении методов § 3.4 в ПО "йкорский завод”

Переход от численного метода к его программной реализации, как стало очевидным в последнее время, является далеко не формальной операцией [59]. В то же время потребность в надежных и эффективных программах с каждым годом возрастает. При создании математического обеспечения трудности технологического характера - машинное время, значимость числа, точность вычислений, объем программы, объем перерабатываемой информации, объем доступной памяти - стали преобладающими. По мнению авторов [6l]
"... сейчас масштабы и объем этих трудностей настолько выросли, что можно говорить, что задача их преодоления сама стала задачей науки и представляет собой проблему фундаментального значения”.
Появление многочисленных программных реализаций численных методов заставляет по новому взглянуть на основную задачу теории численных методов о поиске наилучшего в некотором смысле алгоритма из данного класса [43]. Здесь на первый план выдвигается задача об оценке влияния ошибки округления на точность вычислений, без решения которой сравнивать между собой программные реализации немыслимо. В этом смысле показательной является И. где обсуждаются различные, широко распространенные на практике, программные реализации вычисления матричной экспоненты, авторы которой считают их не более как сомнительными с точки зрения точности вычислений.
При том, что растет число работ, авторы которых проводят анализ влияния ошибки округления и получают различные оценки, практика показывает, что эти оценки могут сильно отличаться от ИСТИННОГО положения дел (например, СМ. [115}).
Обилие программных реализаций порождает еще одну проблему

возможность непредсказуемых последствий использования "сомнительных” программ в фундаментальных исследованиях [593 * к сожалению, большинство из авторов, публикующих программы, ограничивается лишь элементарными примерами, иллюстрирующими работоспособность модулей или пакетов, что приводит к необходимости либо полностью довериться автору, либо самостоятельно проводить проверку модуля, либо, что оказывается иногда еще проще, заново написать программу. Так как задача проверки программ является вспомогательной для пользователя, то и качество ее решения обычно невысоко. Как справедливо отмечается, например в |б1], отсутствие авторского права на программы, сложности, возникающие при публикации, отнюдь не стимулируют создание эффективного математического обеспечения для проверки работоспособности и качества реализации численных методов.
Ко всему сказанному следует добавить еще и то, что отсутствие иерархии программных реализаций в какой-либо области, а главное методов установления этой иерархии, приводит лишь к дальнейшему росту числа программ и соответственно к многократному дублированию работы программистов.
Другой важной проблемой, связанной с программными реализациями, является проблема тестовых наборов. В нашей стране эту огромную работу начала группа, возглавлявшаяся В.Н.Фаддеевой. Трудно переоценить значение этой работы и вклад, внесенный Верой Николаевной, до последних дней своей жизни подававшей пример подлинной научной работы и помогавшей делом и советом всем, кто обращался к ней.
Технология изготовления программной реализации численного метода содержит два этапа, где необходимо иметь обширный набор задач - этап тестирования и этап проведения численного эксперимента. На ранних этапах использования ЭВМ, когда среди матема-

числении с двойной точностью можно пренебречь, по сравнению с ошибками, возникающими при записи результата в 1 -разрядные ячейки. Можно считать, что элементы матрицы возмущения ограничены числом
При сравнительном исследовании пакетов программ, ориентированных на работу с разреженными матрицами, возникает необходимость построения с помощью ЭВМ разреженных матриц. Рассмотрим возможные пути построения таких матриц. Будем предполагать, что симметричная матрица с заданными собственными числами уже построена.
Первый путь связан с применением подобного преобразования с помощью матриц вращения. Обнуляя необходимые элементы исходной матрицы, можно получить либо матрицы с заданным профилем, либо ленточные, либо матрицы, у которых нулевые поддиагонали будут чередоваться с заполненными. Основным недостатком этого способа является искажение исходных собственных чисел, возникающее из-за ошибок округления при реализации подобного преобразования на ЭВМ, однако если в качестве выходного параметра сообщать пользователю величину максимального отклонения собственных чисел исходной матрицы )>■; (а) от собственных чисел построенной
ЕРЬ = та х |<*;.| .б| ; |Е| ч р"1н
1 р
В качестве вектора х* можно выбирать вектор