Описание некоторых классов тождеств алгебры M3(F)

• Автор: Аверьянов, Илья Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Ульяновск
• Количество страниц: 66 с.

Глава 1 Базис градуированных тождеств супералгебры Л/1>2(^)
1.1 Предварительные замечания
1.2 Описание градуированных тождеств супералгебры МсП,эо(С
1.3 Тождества МаИ.ДП) от нечетных переменных
1.4 Базпс тождеств супералгебры
1.5 Полученные результаты
Глава 2 Описание алгебр, порождающих многообразие трейскиллеров
2.1 Трейскиллеры для М2(Р)
2.2 Общее описание алгебр, порождающих Г^
2.3 Описание Л2
2.4 Описание А3
2.5 Доказательство основной теоремы
2.6 Полученные результаты
Глава 3 Проблема Прочези для алгебры общих матриц порядка 3
3.1 Основные определения
3.2 Необходимые условия редуцируемости
3.3 Сведение задачи к многочленам следовой степени 1
3.4 Решение задачи для многочленов с ледовой степени
3.5 Полученные результаты
Заключение
Литература

История проблем, связанных с тождествами
Теории тождеств в алгебраических структурах является очень своеобразной и интересной областью современной алгебры, тесно связанной с другими ее разделами: теорией групп, колец, тел, алгебраической геометрией, теорией инвариантов, и пр. Тождества были введены как обобщения известных математикам с древних времен свойств обычных чисел для того, чтобы иметь возможность переносить известные факты на новые алгебраические объекты.
С возникновением формальных алгебраических систем в начале двадцатого века математики смогли сформулировать понятие «тождества» на подходящем алгебраическом языке, и проследить, как тождества связаны с алгебраической структурой объектов. Например, бинарная операция коммутативна, если выполнено тождество ху = ух . Также легко проверить, что любая группа, удовлетворяющая юждеству х2 = 1, является коммутативной.
Тождества в ассоциативных алгебрах имеют вид /(лд, а.'г. •. •, = д(хь жг, • • ■ ■ хп),
где /(.Тх,Х2, . ■. ,.тп) и д[.Г1,т-2, ■ •. - некоммутативные полиномы, или, эквивалентно,
вид /(.г’1,х'2,.. = о.
Тождеством в алгебре А называется нетривиальное соотношение /(ад, л,2, ■ .,хп) = 0, выполняющееся при любых подстановках х1 н-> а,: элементов из А. Тождество / называют Р1 -тождеством или полиномиальным тождеством. Р1 -степенью А называется наименьшая степень полиномиального тождества, выполненного в А.
Например, алгебра /1 коммутативна, если аЬ = Ьа /а, Ь € А , или если хд.сг —хдад = 0 является полиномиальным тождеством в А. Т.о. полиномиальные тождества обобщают коммутативность.
Изучение РТ-теории было начато Делом [5], который стремился описать теоремы Дезарга с. помощью полиномиальных тожесгв соответствующего тела О. Заметив, что теорема Паппа верна в точности тогда, когда О коммутативно, он хотел найти полиномиальные ограничения на В, необходимые и достаточные для выполнения соответствующей теоремы.

Несмотря на то, что эта цель была достигнута лишь много позднее Ампцуром, благодаря этому было заложено понятие полиномиального тождества.
Следующий важный шаг в изучении К/-алгебр был сделан В. Вагнером [17] - он доказал коммутативность упорядоченного РІ-тела и нашел некоторые важные тождествва алгебры матриц порядка 2. Позднее М.Холл изучал тела, удовлетворяющие тождеству [[ж, у]2, г] = 0.
Большую роль в теории РІ -алгебр сыграла проблема Куроша, поставленная им в 1941г. [40] Курош сформулировал аналог проблемы Бернсайда для алгебр: является ли любая конечно-порожденная алгебраическая алгебра над полем К конечномерной над Р ? Джекобсон [7] заметил, что любая алгебраическая алгебра ограниченной степени является РІ -алгеброй. Используя недавно разработанную структурную теорию и результаты Левицкого [18], Капланскпй установил, что любая алгебраическая конечно-порожденная РІ-алгебра является конечномерной [9].
В общем виде проблема Куроша была решена отрицательно в 1964г. Голодом и Шафаревичем [32], [33].
Положительное решение проблемы Куроша для РІ-алгебр немедленно следует из знаменитой теоремы Ширшова о высоте [51], доказанной им в 1957г.
Другая очень важная проблема РІ-теории была поставлена Шпехтом [25] в 1950г.: "Имеет ли любая ассоциативная РТ-алгебра над полем нулевой характеристики конечный базис тождеств?11.
Эта проблема имеет смысл для алгебр над любым полем, а также для колец, групп, и многих других алгебрачоеких структур. Для групп проблема конечного базирования была отрицательно решена Ольшанским [47]. В 1973г. Крузе и Львов [46] доказали, что любое конечное кольцо имеет конечный базис тождеств. Проблеме конечной базируемое над полями нулевой характеристики было посвящено множество работ. У В.Н.Латышева имеется большой цикл работ на эту тему [41]-[45), Многие русские и болгарские математики работали в этом направлении. Отметим наиболее важные результаты. В 1978г. Латышев [45] доказал, что любая ассоциативная алгебра над полем нулевой

Доказательство. Пусть
С3(х11х2,х3,у1,У2) = (-1)7Г2''тг(1)гй^7г(2)г'2^(з)
7гЄ5з
- многочлен Капслли степени 3, з(ж) - многчлен Гамильтона-Кэли степени 3. Т.к. Хз{х) = 0 - тождество в Мз((к>), то Сз(1, х, Хз{х), ід, н2) = 0 - тождество. Из него немедленно следует, что С-і(1,х,х2,Уі,У2)Тг(х) = ([ж2, Уі][.с, і/2] — [ж, ь?і][л2,г;2])Т’г(гг) р-редуцируем. Несложно показать, что многочлен ([.г2, Мі]и2[ж, щ) — [х, Иі]«2[ж2, Из]) лежит в идеале алгебры <^р(х,у), порожденном многочленами вида [.г2, і>і][ж,і>2] — [ж, (>і][ж2,г>2]. Утверждение а) доказано.
Т.к. ([ж2, н1](/2[ж, «з] —[ж, «і]г;2[ж2, гіз])Т7'(.ж) = /і(ж,у),где /г - бесследовый многочлен, то, подставив в это тождество ж = .г + у2 и взяв затем нужную однородную компоненту, получаем утверждение Ь). Доказательство утверждения с) полностью аналогично. Лемма доказана.
Очевидно, в утверждении леммы ж и у можно поменять местами.
Теорема 6 Пусть / Є $р(х,у) ■ То?да если / редуцируем и д(/) > 1, то / также р -редуцируем.
Доказательство. Пусть 'з(жі,ж2,жз) - линеаризованный многчлен Гамильтона-Кэли степени 3. Т.к. з{а, Ь,с) = 0 - тождество в Мз((2) ( а, Ь, с Є (ж, у)), то
Тг{аЬс) + Тг{асЬ) ~ Тг{а)Тг(Ъс) + Тг{Ь)Тг{ас) + Тт{с)Тг{аЪ) - (3.6)
—Тг(а)Тг(Ь)Тг(с)
Осюда сразу получаем, что многочлен Тг(хкіу11 ... хкту1т) эквивалентен многочлену вида (3.5) с меньшей следовой длиной, если хотя бы один из показателей кі,Ц > 1 (без ограничения общности полагаем к± > 1, тогда подставив а = ж, Ь = ж, с = хк1~'2ук .. .хкту1т в (3.6), получим требуемое).
Если все кі = 1, к = 1 и т > 1, подставим а = ж, Ь = у, с = хуху... ху . Получим
/ := Тг(хуху ... ж у) + Тг(.г1у2ху... ху) ~ д. 1{д) < 1{/).