Некоторые свойства многообразий полных пар нульмерных подсхем алгебраической поверхности

• Автор: Тимофеева, Надежда Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Ярославль
• Количество страниц: 92 с.

Введение
В данной работе исследована проблема гладкости многообразия Х23 полных пар нульмерных подсхем длины 2 и 3 гладкой алгебраической поверхности, найден метод получения чисел Бетти многообразия Х при условии, что последнее гладко, а поверхность допускает действие одномерного комплексного тора, и проведены вычисления в случае комплексной проективной плоскости и гладкой квадрики. Также рассмотрено детермииаитное разрешение особенностей универсальной подсхемы в 5 х Н+х и показано, что оно изоморфно многообразию Хм-
Пусть - гладкая неприводимая проективная алгебраическая поверхность над алгебраически замкнутым полем к нулевой характеристики, Нд — ГШЬ5 схема Гильберта нульмерных подсхем длины (с-точий) в «5. Длина нульмерной подсхемы 7 в 5 определяется стандартным образом как 1(7) — (Ог)-Схема Нл параметризует всевозможные подсхемы 7 С 5, 1(7) = с?, т.е. существует взаимно однозначное соответствие между подсхемами 7 длины (I в 5 и точками г в //(/; зтот факт позволяет нам обозначать как 7 точку в //<*, если исключена путаница.
Известно [1,2], что схема Гильберта «Гточий в «5 является гладким неприводимым многообразием размерности 2(1.
Теперь, следуя [3], образуем произведение Нл х и ограничимся открытым подмножеством в нем вида
в := {(г,гЛ2)гЛ1 приведены, п = 0}.
В каждой точке (7,7) (Е О определено теоретико-множественное объединение 7&х +й2 подсхем и 7а2 Имеется рациональный морфизм
/ : Яд х Нц - - //,,(0.1)
корректно определенный на О как регулярное отображение сложения наборов точек:
/ : (1, 7в,2) 1—7+а2 = %лх и Минимальная конструкция, разрешающая морфизм (0.1) - многообразие полных пар Х<12 1 ~ была построена в частном случае ф = 1,с?2 = (I Г.Эллингсру-дом [4] и в общем случае А.С.Тихомировым [3]. Гладкость Хм доказана разными авторами различными методами в работах [3-5].
В работе Дж.Чи результат достигается локальными вычислениями. Разработанная ею техника, с некоторыми видоизменениями, использована в настоящей диссертации в комбинации с действиями тора, определенными локально, для доказательства гладкости многообразия Хз-
В [4] использовано действие максимального тора в СЬ(3) на Р2 X где Н<1 - схема Гильберта <} -точий проективной плоскости.

В [3] доказательство гладкости Хм основано на изучении рангового отображения Кодаиры-Спенсера в смысле Хиршовица [6]; здесь существенно то, что пучок идеалов 1г универсальной подсхемы Г С <5 х Н& обладает двучленной локально свободной резольвентой.
Гладкость Х22 доказана А.С.Тихомировым в уже цитированной работе, где им получены уравнения слоя морфизма Х22 —> #2 х #2 над наиболее специальной точкой. Там же им сформулирована гипотеза о гладкости многообразий полных пар Хл1С12 Для любых (12-
Настоящая диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы (25 названий).
В главе 1 настоящей диссертации описана конструкция многообразия полных пар Xd.yd.-2 и доказана гладкость многообразия Лгз-
В главах 2-4 исследуется топология многообразий полных пар Х а2 ПРИ ма_ лых с/;, i = 1,2 и поверхности 5 специального вида - комплексной проективной плоскости Р2 и гладкой квадрики Р1 х Р1. Основным инструментом здесь являются клеточные разбиения, которые, согласно теории А.Бялыницкого-Бирюли [7,8], могут быть индуцированы действием одномерного тора, если исследуемое многообразие неособо.
В главе 2 фиксируется действие тора на Р2 и явно вычисляются соответствующие ему клеточные разбиения схем Гильберта Н, <1 < 5 сГточий на Р2. Цель этой главы - получить семейства подсхем, соответствующие каждой клетке в разбиении На при выбранном действии тора.
В главе 3 доказывается инвариантность многообразий полных пар нульмерных подсхем в Р2 относительно действий тора; описывается техника вычисления их клеточных разбиений, индуцированных данным действием тора, а также, используя результаты главы 2, вычисляются клеточные разбиения многообразий Хг, Х22-, Х23, и подсчитываются их числа Бетти. Ранги групп Чжоу (а значит, и числа Бетти - [9]) в случае Х22 были вычислены ранее А.С.Тихомировым и Т.Л.Трошиной в [10] методом бирациональных перестроек многообразия Х2г- Числа Бетти Х22, полученные при помощи действия тора, согласуются с [10].
В главе 4 проводятся вычисления в случае гладкой квадрики чисел Бетти схем Гильберта Нз., с1 < 5 и Хгз, 22* При этом используются результаты глав 2 и 3.
Наконец, в главе 5 строится детерминантное разрешение Г — Г универсальной подсхемы в 5 х Нл+1 и доказывается его изоморфизм с Хм-
Результаты, полученные в диссертации, являются новыми. Они докладывались на семинаре по алгебраической геометрии при кафедре алгебры Ярославского государственного педагогического университета им. К.Д.Ушинского в 1998 - 1999 гг. и конференции молодых ученых г. Ярославля в 1998 и 1999 гг. Основные из них содержатся в работах автора [11 - 17].

Глава 1. Конструкция многообразий полных пар Х2-Гладкость Хж.
§0. Конструкция.
Пусть 5 -гладкая неприводимая проективная алгебраическая поверхность над алгебраически замкнутым полем к нулевой характеристики, и На - схема Гильберта нульмерных подсхем длины (I в где длина нульмерной подсхемы 2 определяется как 1(2) = хіРг)- Образуем произведение х На2 и рассмотрим в нем график инциденции
Гм2 — {(ьг) Є Я* х НьгЛі П ф 0}
со структурой приведенной подсхемы. Здесь г а означает точку в схеме Гильберта На, й = соответствующую подсхеме 2а длины А в 5.
Следуя [3], назовем многообразием полных пар Ха2а2 раздутие х На2
с центром Г<*14г2 и пусть <т : Ха1а2 Н<1, х На2 - соответствующий морфизм раздутия.
Так как сосііт Г2 = 2, то
Г {(,2) Є Нах х ЯІБирр, П БиррДь = 0}
- плотное открытое множество в Ха2і И ,гй2,2)Хаха2 = 2(с?і + с?2) для
(у2а1, га2) Є О. Имеет место следующая естественная стратификация многообразия Х(ІіЛ2
5<°>:
5(1>: =
5,(2) : = {(гй,-г) Є Щ ІК Яй|8црр% = $ирр2й = {точка}}
С 5(1)
Случай х = (я.д , л) Є Зі1> — 3{2> сводится к добавлению точки, если ЯнррЯд П Бирр = {точка}, - ситуация, изученная А.С.Тихомировым [3], Г.Эллингсру-дом [4], Дж.Чи [5] - либо к случаю меньших длин, в частности, если = 2,2 — 3, то происходит редукция к Х22, рассмотренному в [3]. Представляет интерес случай х Є
5(2). 5(2)
- это многообразие бифлагов Тал подсхем С +а2 2) 2а2 с носителем в точке.
§1. Проверка гладкости Л23.
Целью настоящего параграфа является проверка в случае <1 ~ 2, = 3 спра-
ведливости гипотезы А.С.Тихомирова [3] о гладкости многообразия полных пар Ха-2 нульмерных подсхем гладкой неприводимой проективной алгебраической поверхности.
1.0. Касательное пространство к многообразию в точках 5.
Пусть 2ах задается в окрестности V С 5 носителя йирр идеалом /*, га2

Остался еще один нетривиальный случай - клетка, отвечающая неподвиж-
ной точке (!£*?» *Ш> С(*1и1)}. {(*|И9*?1 *!№)
ПРИМЕР 3.2.4. Будем рассматривать такие семейства деформаций подсхем длины 2:
Ц = (жо — ах — /?ж2,ж2), 1' = (жо — а'хх — /?;ж2)Ж2).
Тогда произведение
ЦI'2 = ((жо — ахх — /?ж2)(ж0 — а XI — /?'ж2), (ж0 — ахх — /?ж2)ж2,
(жо — ос Х — /3/Ж2)жз, ж2)
специализируется тором в (жо,ж2), если а ф а', и в (жо,ж0ж2,ж|), если справедливо обратное. Первый случай сразу дает 4-параметрическое семейство деформаций тройки ({(жо,ж2)}, {(жо,ж2)}, {(ж, ж2)}).
Нас интересует а = а(3 ф /3'. При этом, обозначив Жо := Жо — 01X1, получаем
= (х0-/3х2,х|), 11 = {х0- /З'х2,х1),
Ц1% = ({хо-Рх2)(х0-(3'х2),Хох2,х1).
Тем самым, имеет место ситуация примера 3.2.2. Из него следует, что клетка, отвечающая неподвижной точке ({(жо, ж2)}, {(ж0,ж2)}, {(жд, ж0ж2, ж2)}), четырехмерна.
Размерности остальных клеток получаются аналогично вычислениям §1. Тем самым, имеется
Клеточное разбиение Х22
Неподвижная точка Я Неподвижная точка Я
{(*11.*?)}и {(*01*2)}, {(*о,*2)} и {(*01*1)}
{(*?»**)} и {(*о,*1)}. {(*11*?)} и {(*0,*?)}
{(*1,*г)} и {(х§,*2)} и {{40,11)} 4 {(*1,*?)} и {(*01*2)} и {(*01*1)}
{(*!.*?)} и {(*01*2)}, {{*о,*2)} и {(хо.г,;}
{(*о, *2)} и {(хо, ач)}, {(х1,ха)} и {(х0,х2)}
{(*!..*?)} и {{*61*1)} и {(**>1*1)} 4 {(*!,.т2)| и {(х0,*|)} и {(х0,*1)}
1-)} и {(х0,х2)}, {(*1,*?)} и {(*0,*1)}
{(*1, *2)}и {(«О,-*»)}, {(*1)*г)} и {(х0,х2)}
{(*11*?)} и {(*о, *2)} и {(*о, *1)} 3 {(*},х2)} и {(х0, х2)} и {(*о, *1)}
{(*11*2)} и {(х0,х2)}, {(*1,*?)} и {(*0,*1)}
{(*!,*?)} и {(хо.аД), {(хьх2)} и {(*Я,*?)}
{(*1, *2)} и {(*о, *2)} и {(*01*1)} 4 {(*% *!)} и {(*о, х2)} У {(х0, *1)}