Рациональные функции с немногими критическими значениями

• Автор: Крейнес, Елена Михайловна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 82 с.

0 Введение

1 Предварительные понятия

1.1 Алгебраические кривые в аффиных и проективных пространствах. Основные определения и обозначения

1.2 Пространства модулей алгебраических кривых

1.2.1 Пространства модулей малых размерностей

1.3 Пространства Гурвица

1.3.1 Компактификация пространства'Нод

1.3.2 Частные случаи при малых ^

1.4 Теория детских рисунков

1.5 Теория пар Белого

1.6 Дискриминант многочлена

II Вычисления пар Белого
2.1 Необходимое условие чистой пары Белого
2.2 Уравнения в пространствах Гурвица
2.2.1 Общий случай
2.2.2 Случай рода
2.2.3 Случай рода ]
2.3 Уравнения в пространствах модулей

2.4 Паразитические решения
2.4.1 Общий случай
2.4.2 Случай рода
2.5 Деревья диаметра четыре
2.6 Серии графов, обладающих геометрическими паразитическими решениями
2.7 Негеометрические паразитические решения
2.8 Некоторые примеры и связи с нормировками
III Дискриминантные поверхности и их
особенности
3.1 Основные свойства дискриминантных поверхностей .
3.3 Стратификация пространств многочленов по критическим значениям
3.4 Специализация для многочленов степени
Список литературы

Введение
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы диссертации.
Различные комбинаторные структуры на римановых поверхностях в течение уже более чем ста лет постоянно возникают как в качестве естественных комбинаторных и алгебраических задач, так и в связи с различными вопросами теории пространств модулей, теории римановых поверхностей, квантовой теории поля, теории струн. Не случайно особенно бурное развитие комбинаторной и арифметической теории графов на поверхностях приходится на поледнее десятилетие, когда обнаруживаются многочисленные новые взаимосвязи между различными областями математики, а также между математикой и теоретической физикой.
В 1984 г. известный французский математик Александр Гро-тендик обратил внимание широкой математической общественности на то, что все алгебраические кривые над числовыми полями могут быть реализованы в виде графов специального вида на римановых поверхностях. При этом оказывается, что соответствующий граф является полным /3-прообразом линии, соединяющей какие-либо два критические значения некоторой рациональной функции /3 с не более чем тремя критическими значениями (так называемой функции Белого), заданной на исходной кривой. Гротендик назвал графы рассматриваемого вида детскими рисунками (dessin d’enfant). В дальнейшем это название стало общепринятым. Выяснилось (см. [32]), что взаимосвязь междз^ детскими рисунками и кривыми над числовыми полями может быть поднята до эквивалентности категорий, дающей многочисленные нетривиальные связи между различными направлениями математики и

Pd(к) там, где это не приводит к недоразумению.
Определение 1.6.1. [4, § 33] Дискриминантом многочлена p{z) — аоzd + a.izd~x +... + a,d Є Pd по переменной г называется выражение
Discz(p(z)) = а2Д~‘г П izi - zkf Є k[a0, — , ad], l где через zi,..., Zd обозначены корни многочлена р, с учетом кратности.
Теорема 1.6.2. [4, § 33] Дискриминант, многочлена p(z) Є Pd является полиномиальной функцией от коэффициентов р.
Приведем несколько наиболее часто употребляемых представлений дискриминанта:
Предложение 1.6.3. [4, § 35]
Discz{p(z)) = ад"-2 П (.Zi-Zk)
1 = ±«'Г2Пр'Ы ;=
= ппапД1 П p(yj)

= ±—Res(p,p'), ao
где через 2/i,..., yd-1 обозначены корни производной р' многочлена р, с учетом кратности, через Res(р.р1) обозначен результант многочлена р и его производной.
Предложение 1.6.4. [4, § 35] Дискриминант Discz{p[z)) обращается в ноль тогда и тюлько тогда, когда многочлен и его произ-