Изоморфизмы линейных и унитарных групп над кольцами

• Автор: Исмагилова, Альбина Сабирьяновна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 120 с. : ил.

Глава 1. Изоморфизмы групп обратимых элементов

над ассоциативными кольцами

§1. Метод инволюций

§2. Описание изоморфизмов групп обратимых элементов

Глава 2. Изоморфизмы унитарных групп над кольцами

§1. Метод инволюций

§2. Описание изоморфизмов унитарных групп

Глава 3. Гомоморфизм групп матриц второго порядка

§1. Предварительные замечания

§2. Инволюция в группе матриц второго порядка и гомоморфизм

Глава 4. Изоморфизмы линейных групп над ассоциативными кольцами без |

§1. Гомоморфизм линейных групп над ассоциативными кольцами
§2. Изоморфизмы линейных групп над кольцами без |
Литература
Главная тенденция теории изоморфизмов классических групп состоит в переходе от разнообразных частных типов коммутативных целостных колец коэффициентов к произвольным коммутативным целостным кольцам, и далее, - к еще более общим, необязательно коммутативным, целостным, и необязательно целостным, кольцам и необязательно конечным размерностям.
Теория автоморфизмов классических групп была начата работой Шрейера и Ван дер Вардена [72], в которой были описаны автоморфизмы группы над произвольным полем. Затем Дьедонне [39] и Риккарт [70] ввели метод инволюций, использованный в дальнейшем ими и многими другими авторами для описания изоморфизмов между большими классическими группами. Для конечных полей другие доказательства неизоморфности, основанные па сравнении порядков групп, дал Артин [31], [32]. Автоморфизмы и изоморфизмы групп Шевалле и тесно связанных с ними групп над различными полями были найдены в работах [75], [76], [49]. Теорию изоморфизмов (даже гомоморфизмов) для широкого класса групп, включающего большие линейные группы над бесконечными полями, а также большие классические группы в изотропном случае над бесконечными полями развили Борель и Тите [34].
Первый шаг в построении теории автоморфизмов над кольцами, а именно для группы С Ьп над кольцом целых чисел, сделали Хуа Ло-ген и Райнер [47], а для группы над этим же кольцом
Райнер в [08]. Затем были рассмотрены гауссовы целые числа и области главных идеалов. Автоморфизмы линейных групп над произвольными областями целостности при п ^ 3 описал О’Мира [01]. Автоморфизмы некоторых групп целых точек некоторых расщепляемых групп над нолями алгебраических чисел исследовал Борель [33], при этом автоморфизмы линейных групп над арифметическими областями числовых полей получаются как частный случай. Метод вычетных пространств, изложенный в “Лекциях” О’Миры, впервые был введен им в
одной из его работ об ортогональных группах в 1968 году. Вскоре он был применен в работе [63] к линейным группам, богатым трансиекцинми, и, в частности, к линейным группам над областями целостности при п > 3. Затем Солацци [73] описал при п ^ 3 автоморфизмы проективных линейных групп, богатых проективными транснекциями, а Хан [44] - изоморфизмы таких групп, причем он дал единую трактовку для линейных, симплектичсских и унитарных групп 15 размерностях п
Отметим работы Далла [42], [41], в которых решается проблема описания автоморфизмов двумерных групп ОЬг, ЗХг, РЗЬ2 над
произвольной областью целостности V.
Аналогичные результаты получены в [42] для групп 5Хг, -РбгАг и С1/2- Первоначальное предположение, что в характеристике 0 кольцо V должно содержать обратимые элементы, отличные от корней 4-й степени из единицы, ослаблено в [41].
Хан в работе [44] применил метод О’Миры к проективным группам изометрий пространств с рефлексивной формой и развил -в размерностях ^ 5 - единую теорию изоморфизмов их подгрупп, богатых проективными сдвигами. Идеи этой работы нашли отражение в главе 5 “Лекций” О’Миры [64]. Из результатов работы [44] отметим теорию изоморфизмов для линейных, симплектичсских и унитарных конгруэпц-групн и их проективных образов над областями целостности (в унитарном случае необходимо ограничиться арифметическими областями), не зависящую от характеристики кольца, индекса Витта и поля произвольной характеристики (все это в размерностях ^ 5). Для ортогональных групп, не рассмотренных в работе [44], соответствующая теория была развита Ханом в [45].
Автоморфизмы ортогональных групп над нолем Р характеристики 2 исследовал Коннорс [37], [38]. В работе [37] он рассмотрел полную ортогональную группу, ее группу вращений, коммутант и ядро спинорной нормы. Автоморфизмы этих групп изучались ранее Дьедонпе [40], Стейнбергом [75], Сю Чжснь-хао [78] и Хамфрисом [49] при различных

Поскольку а(х — 1)6 = 0, то к(х — 1)6х = 0. Отсюда
(х — 1)&1 = 0, (х — 1)6 = 0, хЬ — 6.
Из справедливости формул (2.21), (2.24), (2.25) следует, что и = — гау + гх2 = —гу + гх2 — Н2.
Аналогично,
У = ы.
Легко показать, что
* а 6 о N (1 0 0 ^ «2 0 62
с (1 0 0 0-1 6і — 0 1
Ч 0 ч С ф ) С2 0 СІ2
Из формулы (2.27) следует:
а2 = /ц, (12 = Л3, ^2 = Р, с2 = д.
Тогда
1 0 р (1 0 Р Ч+рді 0 Р +Р
0 1 0 0 1 0 — 0 1
о 0 1) 91 0 1 ) <7+ <71 0 ЯРі +1 У
Из формулы (2.20)
г(1 + Ря{) = г, грд1 = 0.
Поскольку г пробегает все кольцо Я, то
<р (1 + - (е{ге^)т) =
(2.20)
(2.27)

| 1 Т СіТпСі,-8пСіІпС^ипС^ У ' (ц’і'ПЄкЗцЄііпIIп) 1 п п /