О среднем значении функции делителей от тернарной кубической формы

• Автор: Баядилов, Ескендер Ергалиевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 68 с. : ил.

і '

1 Производящий ряд Дирихле

1.1 Вспомогательные утверждения

1.2 Теорема о представление производящего ряда

2 Об оценках дзета-функции Римана в окрестности единичной прямой

2.1 Вспомогательные утверждения

2.2 Теорема об оценке дзета-функции Римана в окрестности единичной прямой

3 Средние значения функции делителей на значениях кубической формы

3.1 Вариант формулы Перрона

3.2 Среднее значение степени модуля

дзета-функции Римана

3.3 Асимптотика среднего значения
многомерной функции делителей
4 Асимптотическая формула для суммы функции делителей
на значениях тернарной кубической формы
4.1 Вспомогательные утверждения
4.2 Основная теорема
Литература

Проблемой делителей называют задачу об исследовании асимптотического поведения среднего значения функции делителей Дирихле, рас-пространненных на множества натуральных чисел, имеющих различную природу. Поясним, что функцией делителей ту-(п) называется количество представлений натурального п в виде п = х... хк, где х,... ,хк — натуральные числа. Следует сказать, что данная задача допускает многочисленные арифметические и геометрические интерпретации. В частности, полученная самим Дирихле асимптотика для среднего значения числа делителей натурального аргумента одновременно является и асимптотикой для количества целых точек под гиперболой.
Настоящая диссертация посвящена выводу асимптотической формулы для среднего значения 14(ж) функции тДп) при условии, что 1 < п < х, а п пробегает значения, которые принимает тернарная кубическая форма вида
<Р - <р(г 1, г2, = г + г + - Зг1г2г3,
где 21, г2, гз — целые числа.
Заметим, что под средним значением функции /(г), распространенной на некоторое конечное множество точек г Е М в количестве N элементов, здесь понимается величина V, равная сумме
^ = £/(*)■

Значение V связано со средним арифметическим А от функции /(г) по множеству М простым равенством А — У/ЛГ.
Из определения следует, что величина 14(ж) равна количеству решений диофантова уравнения вида
хг.. . хк - г1 - х - г + Зг1г2г3 = О,
причем переменные Х,Хк принимают натуральные, а гх,г2,г3 — целые значения и выполнено неравенство х... хк < х, а также значению

суммы вида
^ Tk{v(z,z2,zz)).
ip(zi,Z2,Z3) В случае к = 1 и к — 2 задача отыскания асимптотики для Vk(x) рассматривалась в кандидатской диссертации X. Т. Нгуена [13], защищенной на механико-математическом факультете МГУ в 1990 г. Там же получена асимптотика для близкой по тематике (случай к — 3) задачи представления нуля кубической формой от шести переменных вида
Ql = <р(хг, Х2, Х3) - ip(z1} z2, z3)
с условием lf < X.
Различные задачи, связанные с получением асимптотик средних значений функции делителей, заданной на множестве целых чисел М определенной арифметической природы, имеют большую историю и сохраняют свою актуальность до настоящего времени. Наибольшее внимание, естественно, привлекает классическая проблема делителей Дирихле, то есть вопрос об оценке остаточного члена гк{х) в асимптотической формуле вида
Dk(x) - ]Рт*(га) = хРк-і(1пх) +гк(х),
п<х
где Pk-l(t) — многочлен степени к — 1.
Начиная с первой оценки вида тДж) ж1/,2+£, полученной Дирихле в
1849 г [68], этой проблемой занимались Вороной [29], Ландау [69], Харди и Литтлвуд [70], ван дер Корпут [59], Топ [71], Вальфиш [26], Аткинсон [31], Чи Джан Тао [73], Рихерт [74], Чен Джин Ран [6], Карацуба [14], Колесник [75], Иванец и Мозоччи [52], Ивич [10] и другие известные математики. Последние результаты по проблеме делителей Дирихле изложены в монографии А. Ивича [48].
В случаях, когда множество М не совпадает с натуральным рядом чисел, возникает ряд отдельных задач, изучение которых требует применения существенно различных подходов и методов исследования. Количество таких задач очень велико. Можно указать, например, на проблему нахождения асимптотики для среднего значения функции тД[пс]), рассмотренную Закзаком [18], Солибой [63], Архиповым и Чубариковым [76].
Важным направлением в круге указанных проблем является нахождение асимптотик функции Tk(f(z)), где f(ß) — целозначный многочлен от нескольких переменных z = (zi,... ,zm). Сюда может быть отнесена,

3) участок интегрирования Е3 проходит по указанной выше окружности К от точки /3 — ih до точки р + ih в отрицательном направлении, т.е. по “часовой стрелке”;
4) Еа — вертикальный отрезок с началом в точке /З + ih и концом /З + гТ;
5) Е$ — горизонтальный отрезок [/3 + гТ, b + гТ].
На основании теоремы о вычетах заключаем, что интеграл по старому контуру равен сумме сумме интеграла по новому контуру и вычету подынтегральной функции F(s) в точке s = l, который, в свою очередь, равен значению функции хРк-i(lnæ), где Pk~i(y) — некоторый многочлен от переменной у степени к — 1.
Далее оценим модули интегралов J J5 по каждому из промежутков интегрирования Е Е§ соответственно. Для этого воспользуемся оценками функции |С(^)| вида
|C(s)| -С ta^l~a^n при s = сг -f it Е Е2, Е4]
|C(s)| < 1, |zs| <ха< -1 < 1 при 5 6 Ез]
s{s + 1)
|c(s)| “С Ini при а > 1.
Тогда получим
1 Ь
Щ = |J5| < J хоТ-1+ка(1-орп da + J xT-HnTda.
Заметим, что вторая производная по а от функции
/(сг) = сг In х + ка(1 — и)3/2 In Т
положительна при сг < 1, поэтому /(сг) выпукла вниз и, следовательно, справедливо неравенство
/(сг) < шах (/(£), /(с*)).
Но тогда имеем

Ji + I J5 < хТ-1 + Т-1 j max (ха, х^Тка^~^т) da <

<®T_1 + x/îTfce(1-^ï/2-1.