Некоторые типичные свойства конечно определенных групп

• Автор: Аржанцева, Гульнара Нурулловна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 62 с. : ил.

Содержание
Введение
Предварительные сведения
Глава 1. Графы
§1.1. Задание подгрупп конечно определенной группы графами
§1.2. Преобразования графов
Глава 2. Группы со свободными подгруппами
§2.1. Подгруппы с малым числом порождающих
§2.2. Условие на определяющие слова
§2.3. Подгруппы бесконечного индекса в группах с
(Л, Г)-условием
§2.4. Когомологическая размерность типичной группы
Глава 3. Квазивыпуклость и теорема Хаусона
Глава 4. Подгруппы бесконечного индекса в свободной группе
Литература

Введение
Методы комбинаторной теории групп позволяют исследовать свойства как конкретных групп заданных порождающими элементами и определяющими соотношениями, так и целых классов групп. Однако большинство интересных результатов относится к различным весьма специальным классам групп. Это обусловлено тем, что для какого-то широкого класса групп достаточно трудно получить содержательные утверждения. В такой ситуации на наш взгляд естественным является следующий подход: фиксируя некоторый обширный класс групп, пытаться изучать структуру группы являющейся ” типичным” представителем этого класса. В этом смысле в теореме М. Громова сформулированной им без доказательства (и даже его наброска) утверждается, что типичным представителем класса конечно определенных групп, то есть групп заданных конечным числом порождающих и конечным числом определяющих соотношений, является гиперболическая группа [16]. Доказательство этого утверждения приведено в работе [23], где также отмечается, что в определенном статистическом смысле почти каждая конечно определенная группа является диаграммно асферической. Многочисленные определения и основные свойства гиперболических групп можно найти, например, в [13], о диаграммах над группами см. в книгах [4], [6]. Другие примеры исследования типичных свойств содержатся в работе [9]. В частности, там показано, что типичным представителем класса конечно порожденных групп с двумя определяющими соотношениями является гиперболическая группа когомологической размерности 2, а также изучена граница такой группы.
В настоящей работе мы рассматриваем класс конечно определенных групп и устанавливаем ряд свойств, которыми обладает случайным образом выбранная группа из этого класса. Такие свойства мы называем ’’общими” (или типичными). Более точно, пусть Хт = {ж1
<3 = (хи

где {ri
Стоит отметить, что существуют несколько различных неэквивалентных определений общности. Например, в упомянутых работах [23] и [9] понятие общности отлично от нашего. Там в качестве параметра стремящегося к бесконечности рассматривается t = mm |г,-|. С этими определениями, а также с многочисленными гипотезами относительно общности того или иного свойства можно ознакомиться по работам [16],[15], [1].
В настоящей работе схема доказательства общности какого-либо свойства выглядит следующим образом:
1-й шаг. Высказывается гипотеза об общности некоторого свойства конечно определенной группы.
2-й шаг. Формулируется специальное условие на определяющие слова конечно определенной группы при котором группа обладает необходимым свойством.
3-й шаг. Доказывается общность этого специального условия в смысле нашего определения.
Вспомогательным инструментом для формулировки условия на определяющие слова (как правило своего для каждого общего свойства) служат размеченные графы. Очевидно, например, что любое слово от переменных xf1, xf1, xfl может быть прочитано при обходе букета из трех циклов длины 1, изображенном на рисунке 1.

Следовательно, число размеченных графов из определения меньше
По определению в Г есть хотя бы одна вершина валентности
< 2т. Более того, такую вершину можно найти на расстоянии
< В = В(Ь) от любой вершины графа Г (см. лемму 1.14). Оценим число несократимых слов длины I. которые читаются на данном графе Г, начиная с произвольной вершины . Начальное ребро с меткой из алфавита Хт может быть выбрано < 2т способами. После прохождения первого ребра есть
< 2т — 1 способ для продолжения пути (так как максимальная степень вершины равна 2т), аналогично после прохождения второго, третьего и т.д. ребер, пока не дойдем до вершины степени < 2т. Понятно, что число слов длины В читаемых на Г, начиная с некоторой фиксированной вершины, не больше (2т(2т — 1)в~1 -1) (по крайней мере одна возможность для продолжения пути не реализуется из-за немаксимальности степени вершины, см. лемму 1.14). Далее, рассуждая по индукции, получаем, что число слов длины Вк. читаемых на Г, начиная с фиксированной вершины, не больше
Ясно тогда, что число слов длины Вк, читаемых на Г, начиная с произвольной вершины, не больше
где |У(Г)| —число вершин в графе Г.
Вместе с (8) получаем, что число (ц, £)-читаемых слов длины / не больше
С(Ь){цІ)и~1(2т)ІІІУ{Т)(2т(2т - )°-1 - 1)((2ш - 1)° - 1)*_1х
С{Ь){ц1)гь~1{2ту1

(2ш(2ш - 1)°~1 - 1)((2т - 1)° - I)*“1.
|У(Г)|(2ш(2ш - 1)°-1 - 1)((2ш - 1)° - 1)к~г,
X (2т — 1)г,
где I — Вк + г и 0 < г < І).
Пусть ц удовлетворяет неравенству

2((2ш - I)° - 1)

(10)