Бирациональные свойства разрешений трехмерных терминальных особенностей

• Автор: Степанов, Дмитрий Анатольевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 72 с.

Глава 1 Введение

Если в классический период развития алгебраической геометрии математики предпочитали работать с неособыми многообразиями, то, начиная с середины XX века, особенности также подвергаются тщательному изучению. Одной из первых работ, тематика которой близка нашей, стала статья П. Дю Валя [10]. В ней были определены и классифицированы так называемые канонические, или дювалевские, особенности алгебраических поверхностей, а также описаны их минимальные разрешения. Позже изучение этих особенностей было возобновлено в работах представителей арнольдовской школы, см. [1], где их называют А-Б-Е-особенностями. Однако истинная роль дю-валевских особенностей и их обобщений в алгебраической геометрии стала ясна только в начале 80-х годов с появлением программы минимальных моделей (ПММ).
ПММ представляет собой обобщение теории минимальных моделей алгебраических поверхностей, развитой в основном усилиями итальянской школы в начале XX века, на алгебраические многообразия высших размерностей. Основные идеи ПММ были высказаны Ш. Мори и М. Ридом в статьях [24] и [29]. ПММ называют также программой Мори. В работах Ш. Мори, М. Рида, Ю. Каваматы, Я. Коллара, В. В. Шокурова и других математиков ПММ была завершена для алгебераических многообразий размерности 3 над полем характеристики 0. Предполагается, что ПММ верна во всех размерностях и для полей произвольной характеристики. Доступное изложение этой теории содержится в [23].
ПММ состоит в выделении в каждом классе бирационально изоморфных многообразий представителя, наделённого некоторыми экстремальными свойствами. Он и называется минимальной моделью. Например, в размерности 2 ПММ приводит к классическим минимальным моделям поверхностей. Одним из самых существенных отличий ПММ в размерности 3 является тот факт, что минимальная модель оказывается, вообще говоря, особым многообразием. Однако особенности, возможные на минимальной модели, не

произвольны, а относятся к довольно узкому классу так называемых терминальных особенностей (это понятие и термин были введены в самой ПММ). Подробнее об особенностях алгебраических многообразий, возникающих в связи с ПММ, см. обзор В. А. Псковских [4].
Терминальные особенности размерности 3 над полем комплексных чисел были полностью классифицированы с точностью до аналитического изоморфизма В. И. Даниловым, М. Ридом, Ш. Мори, Я. Колларом и Н. Шепард-Барроном ([3], [30], [25], [20]). Оказалось, что все терминальные особенности разбиваются на конечное число семейств. Горснштейновы особенности (т. е. такие, канонический класс которых в окрестности особой точки является дивизором Картье) — это в точности изолированные составные дюва-левские точки (сОУ-точки), т. е. особенности, общее гиперплоское сечение которых — поверхность с дювалевской особенностью. Негоренштейновы терминальные особенности представляют собой факторы изолированных сПУ-точек по некоторым циклическим группам. Подробную классификацию мы приводим ниже, см. гл. 2, часть 2.1, теоремы 2.1.3, 2.1.4 и 2.1.5. Далее мы рассматриваем только трёхмерные терминальные особенности, определённые над полем С комплексных чисел.
Ещё О. Зарисским было показано, что любая особенность трёхмерного многообразия над полем характеристики 0 допускает разрешение (см. [35]). Описание минимальных разрешений было существенной частью изучения дювалевских особенностей. Но о разрешениях трёхмерных терминальных особенностей до сих пор известно мало. В. И. Данилов в [3] построил так называемое экономное разрешение для терминальных особенностей, являющихся факторами гладких точек по циклическим группам. Все исключительные дивизоры такого разрешения — рациональные поверхности. М. Ридом в [29], следствие 2.14, было установлено, что исключительные дивизоры разрешения произвольной трёхмерной терминальной особенности являются бирационально-линейчатыми поверхностями. С другой стороны, ясно, что для любой кривой С можно построить такое разрешение данной трёхмерной особенности, что на нём есть исключительный дивизор Е, который как поверхность бирационально изоморфен поверхности СхР1. Поэтому результат М. Рида даёт полное описание бирационального типа исключительных дивизоров в разрешениях трёхмерных терминальных особенностей.
Изучение исключительных дивизоров становится более интересным, если ограничиться только существенными дивизорами. Это понятие было введено Дж. Нэшем в работе [26]. Пусть (X, о) — росток особенности алгебраического многообразия или аналитического пространства и пусть -к: У —> X — некоторое разрешение. Допустим, что исключительное множество морфизма тг

сЕв, er = (4,3,2,1

c£V, а = сЕ7, а — сЕт, а — сЕ&, а = сЕ8, а = сЕ8, а -cEg, а = сЕ8, а = сЕ8, er
(3.2.2.1): (4,3,2,1 (6,4,3,1 (3,2,2,1 (4,3,2,1 (5,3,2,1
(6.4.3.1): (9,6,4,
(12.8.5.1)
{ж2 + у3 + z4 + t8 = 0} С С4. (ж2 + у3 + yz3 +16 = 0} С С4. {х2 + у3 + yz3 + z3t2 +18 = 0} С С4 {ж2 + у3 + yz3 +112 = 0} С С4. (ж2 +/ + г5 + <6 = 0}с€4. {ж2 + у3 + z5 + z3t2 +18 = 0} с С4 (ж2 + у3 + JZ5 + z3t3 + É9 = 0}cC4 (ж2 + y3 + z5 +112 = 0} С С4. {ж2 + у3 + zb + tls = 0} С С4. (ж2 + у3 + z3 + t2i = 0}сС4.