Определяемость абелевых групп своими подгруппами и почти изоморфизм

• Автор: Мордовской, Андрей Константинович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Томск
• Количество страниц: 69 с.

Содержание

Некоторые обозначения.

Введение.

ГЛАВА I. КОРРЕКТНОСТЬ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП И ИХ ОПРЕДЕЛЯЕМОСТЬ СВОИМИ ПОДГРУППАМИ.

1.1 Определения и известные результаты

1.2 ^-изоморфные и в-изоморфные абелевы группы.

1.3 Связь между корректностью абелевых групп и их определяемостыо своими подгруппами

ГЛАВА II. ОПРЕДЕЛЯЕМОСТЬ ПРЯМЫХ СУММ

ЦИКЛИЧЕСКИХ ГРУПП СВОИМИ ПОДГРУППАМИ И КОРРЕКТНОСТЬ р-ГРУПП.

2.1 Определяемость прямых сумм циклических групп своими подгруппами

2.2 Определяемость прямых сумм циклических групп своими собственными подгруппами

2.3 Корректность р-групп
ГЛАВА III. ОПРЕДЕЛЯЕМОСТЬ ГРУПП БЕЗ КРУЧЕНИЯ И ОБОБЩЕННО ВПОЛНЕ РАЗЛОЖИМЫХ ГРУПП СВОИМИ ПОДГРУППАМИ.
3.1 Определяемость групп без кручения своими подгруппами
3.2 Корректность обобщенно вполне разложимых групп и
их определяемость своими подгруппами
Литература.

Некоторые обозначения
о(а) - порядок элемента а = - изоморфизм
В < А - В является подгруппой группы А N - множество натуральных чисел Ъ - группа целых чисел
• Ъ[та) - циклическая группа порядка тп
2(р°°) - квазициклическая группа
- группа рациональных чисел ® - прямая сумма г(А) - ранг группы А го (А) - ранг без кручения группы А /а(А) - ст-й инвариант Ульма-Капланского группы А
* 5(^4) _ множество всех подгрупп группы А
БиЬ^А) - множество всех собственных подгрупп группы А г
= - ^изоморфизм (стр. 22)

= - в-изоморфизм (стр. 22)
/г.(а) - высота элемента а

ВВЕДЕНИЕ.
Актуальность темы. Две абелевы группы называются почти изоморфными, если каждая из них изоморфна некоторой подгруппе другой группы [Л]. Две абелевы группы называются почти изоморфными по подгруппам с некоторым свойством, если каждая из них изоморфна некоторой подгруппе другой группы, обладающей этим свойством. Задача об изоморфизме почти изоморфных групп привлекала внимание многих алгебраистов. В одной из тестовых проблем Капланского [К] ставится вопрос об изоморфизме абелевых групп, почти изоморфных по прямым слагаемым. Для счетных редуцированных примарных групп эта проблема имеет положительное решение [К], однако П. Кроули привел пример неизоморфных р-групп, каждая из которых изоморфна прямому слагаемому другой

группы [Сг]. В ряде работ исследуются, когда из почти изоморфизма абелевых групп по сервантным или вполне характеристическим подгруппам вытекает их изоморфизм (например, [С], [Р1], [Ш], [Г1],
[Г2]).
Известная теоретико-множественная теорема Кантора-Шредера-Бернштейна являлась источником постановки аналогичных задач в « алгебре не только для абелевых групп. В [С] изучается теоретико-
кольцевой, а в [ТК] теоретико-категорный аналоги теоремы Кантора-Шредера-Бернштейна. Рассматриваются также почти изоморфные модули (например, [Ви], [Н], [Р2]). Подобные задачи возникают и в других областях математики, в частности, в топологии ([Бо], с. 20-21).
Существует также логический аспект задачи о почти изомор-» физме, основанный на том, что если модули почти изоморфны по

• натуральные числа I и к, что I < к и Ш4д > Но, 9Л/д < {Ад =
0 Д-9, где каждая группа Ащ есть прямая сумма Шщ циклических

групп порядка 5'). Рассмотрим два случая: а) = 0; б) 9Л(д ф 0.
а) Представим группу Акд в виде Акч =< а > 0 А'кд, где
< а > - циклическая группа порядка дк, порожденная элементом а, и Акд прямая сумма 9циклических групп порядка (ф. Пусть В = 0 Ар 0 Ак 0 Акд 0 < дк~1а > 0 А0. Тогда В - подгруп-

па группы А и, так как Акд = Ак(] (учитываем, что > Но),
то А — 0 Ар 0 А0 Ак 0 Аа. Значит, группы А и В почти изоморфны. Однако группы А и В не изоморфны, так как в группе В есть циклическое прямое слагаемое < дк~1а > порядка г/, а в группе А нет циклических прямых слагаемых порядка с/ (ЯЛ/9 = 0).
б) Группу Ач можно записать в виде Ач = А[д 0 Акд 0 А'д, а где в группе Ад нет циклических прямых слагаемых порядков
д1 и дк. Рассмотрим следующую подгруппу В группы А:
В — 0 Ар 0 Акч 0 Ад 0 Ао. Группы А и В не изоморфны, так pH
как в В нет циклических прямых слагаемых порядка ф, а в А - есть (9Л;? ф 0). Однако группы А и В почти изоморфны. Покажем это. Так как Шкд > Н0 и < Шкд, то 9Л/д + Шкд = Шкд и группу Акд можно записать в виде Акд = Акд 0 Акд, где А'кд - прямая сумма 9Я[ч циклических групп порядка д , а Акд - прямая сумма Шкд
циклических групп порядка дк. Имеем 5 = 0^0 Ак 0 А"к

0 А'д 0 Ао и А = 0 Ар 0 дк~1А'к<1 0 А'кд 0 Ад 0 А0. Значит, груп-

пы А и В почти изоморфны.
Итак, получили, что всякая корректная прямая сумма циклических групп является ступенчатой группой.