Обращение Мебиуса и перечислительные задачи теории конечных p-групп

• Автор: Шокуев, Владимир Нухович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Нальчик
• Количество страниц: 130 с.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА I. Вспомогательные результаты
§ 1. Гауссовы коэффициенты
§ 2. Сведения из теории групп
§ 3. Частично упорядоченные множества и их функции Мебиуса
ГЛАВА П.Обращение Мебиуса на группах
§ 1. Вычисление функции Мебиуса на нильпотентных группах
§ 2. О функции Мебиуса решетки подгрупп конечной группы
ГЛАВА Ш.Перечислительные задачи теории групп
§ 1. Перечисление изоордных подгрупп
§ 2. Обобщение принципа перечисления Холла
§ 3. Об одном соотношении между числами изоордных элементарных
абелевых подгрупп /> группы
§ 4. Перечисление систем образующих
§5.0 последовательностях образующих конечнойр~группы
§ 6. Обобщение понятия экспоненты и соотношения между числами циклических подгрупп
§ 7. Перечисление решений уравнений х1
§ 8. Фундаментальные перечислительные теоремы и их аналоги

§ 9. Еще одно обобщение принципа перечисления Холла
и его применения
§10. Соотношения между параметрами Холла
ЛИТЕРАТУРА

Введение
Метод включения - исключения [40] и классическое обращение Мебиуса [13] лежат в основе теоретико-групповых исследований Ф. Холла [82] и Вайснера [102], получивших обращение Мебиуса на частично упорядоченных множествах. Общая теория функций Мебиуса и обращения Мебиуса была развита Рота; статья [94] положила начало серии работ под названием “Об основах комбинаторной теории'’. Основная идея этих работ состоит в том, что обращение Мебиуса для частично упорядоченных множеств представляет полезное средство перечисления объектов, так или иначе связанных с этими множествами.
Цель настоящей работы - претворить эту идею применительно к конечным -группам, а в некоторых случаях - и к нильпогентным группам.
Теорема Силова о р -подгруппах конечной группы является наиболее важной среди теорем, выводящих структурные свойства групп из арифметических свойств их порядков. Различным обобщенияхм и усилениям теоремы Силова много работ посвятили Фробениус, Миллер, Шмидт, Кулаков, Ф.Холл, Дюбюк, Беркович, Тазава, Хупперт, Уолл и др. К настоящему времени накопился ряд перечислительных задач теории групп, но отсутствует систематическая техника, пригодная для их решения.
В общем случае любой конечной р группы решетка подгрупп имеет весьма сложное строение, не поддающееся точному описанию. С этим фактом связаны трудности, возникающие при решении перечислительных задач теории групп вообще.
В данной работе применяется новый способ перечисления подгрупп и некоторых других объектов в конечных нильпотентных группах, основанный на

Предположим, что X майорантна в У. На основании тождества (1.1.3) имеем
Соотношение (2.1.3) выполняется при к= 1 (формула (2.1.1)). Кроме того, если ¥=У]Х ... хУк и 2= 2х ... х2к - разложения У и 2 (Х<2<У) в прямые произведения своих силовских подгрупп, то поскольку каждая подгруппа 2, как и X, майорантна в У, любая 2, будет майрантной в У, (1=1

Поэтому, если X <2 <У и У 2 = ~ р™‘ , то по индукции
тельно, из индуктивного предположения и теоретико-группового смысла гауссовых коэффициентов (теорема 1.2.1) заключаем, что между слагаемыми, появляющимися в левой части равенства (2.1.5) после раскрытия скобок, кроме последнего слагаемого
тором соответствующие слагаемые равны друг другу. Но тогда из (2.1.4) и
(2.1.5) следует искомая формула (2.1.3).
Пусть теперь X не является майорантной в У. Т.к. Х<У, то Х<Х, где У -пересечение майорантных подгрупп группы У, содержащих X. Так как Х<Х*, в силу (2.1.4) имеем
(2.1.5)
;=1т

р(2,У) - П(~1)ОТ' Р/ > а число таких подгрупп 2 равно ,ш,). Следова-

и слагаемыми суммы //(7.}’) существует биективное соответствие, при ко-
х<г<¥
М(Х,У)=- 2>(2*,У),
(2.1.6)
х<г*<у