Полукольца непрерывных функций с топологией поточечной сходимости

• Автор: Подлевских, Марина Николаевна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Киров
• Количество страниц: 88 с.

Содержание
0.1 Введение
1 Идеалы и конгруэнции в полукольцах
1.1 Основные определения и понятия
1.2 Решеточно упорядоченные полукольца
1.3 Полукольца непрерывных функций
2 Замкнутые конгруэнции на полукольцах непрерывных неотрицательных функций
2.1 Строение замкнутых конгруэнций
2.2 Решетка замкнутых конгруэнций
2.3 Фактор-полукольца полуколец Ср{Х)
3 Замкнутые идеалы и двойственность для полуколец не-
прерывных функций со значением в топологическом полукольце
3.1 Замкнутые идеалы
3.2 Теорема двойственности
Литература

0.1 Введение
Диссертация посвящена разделу функциональной алгебры - полукольцам непрерывных функций. Большая часть результатов относится к полукольцам непрерывных функций, рассматриваемых с топологией поточечной сходимости, то есть к тополого-алгебраическим объектам.
Изучение полуколец непрерывных функций является логическим продолжением исследования традиционных алгебраических объектов - колец непрерывных функций - и в достаточной мере использует факты и методы данной теории.
Пусть X - топологическое пространство и 5 - топологическое полукольцо. Через С(Х, 5) обозначается полукольцо всех непрерывных 5-значных функций, определенных на X, с поточечно заданными операциями сложения и умножения. Если в качестве 5 рассматриваются числовые множества И, (К+ и {0}, К+), то соответственно имеем кольцо С(Х) (полукольцо С+(Х), полуполе II(X)) всех действительнозначных (положительных, неотрицательных) непрерывных функций. Вводя на указанных выше объектах топологию поточечной сходимости, получаем тополого-алгебраические системы функций: СР(Х> 5), СР(Х), С+(Х) и и„(Х).
Изучение колец С(Х) началось с работ Стоуна [40], И.М.Гельфанда и А.Н.Колмогорова [12] во второй половине 30-х годов XX века. Из обширной библиографии по теории колец непрерывных функций укажем монографию Гиллмана и Джерисона [33], важные статьи Капланского [36], Хьюитта [35], Нагаты [37], а также обзорные работы Е.М.Вечтомова [6], [7], [41], [42]. Тополого-алгебраическим объектам СР(Х), в частности, кольцам СР(Х) посвящены монография А.В.Архангельского [1] и обзорная статья В.В.Пашенкова [18].

Полукольца С+(Х) появляются в литературе с 1955 года [39], [13], [34]. Алгебраическое строение полуполей и(Х) изучается участниками алгебраического семинара Вятского госпедуниверситета с 1995 года [9], [20], [21], [5]. Систематическое исследование полуколец С+(Х) и полуполей и(Х) отражено в диссертациях В.И.Варанкиной и И.А.Семеновой . Эти работы посвящены максимальным идеалам, делимости [4] и конгруэнциям [22] на полукольцах непрерывных функций. Отметим, что впервые конгруэнции на полукольцах С+(Х) для тихоновских пространств X рассматривались в статьях [30], [31]. Подалгебры в полукольцах непрерывных функций исследуются в работах [19] и [24]. Полукольца непрерывных функций, их фактор-полукольца находят применение - через пучковые представления - в общей теории полуколец [11], [26] - [28].
Полукольца непрерывных функций являются важными конкретными объектами в общей теории полуколец. Определение полукольца было дано Вандовером в 1934 году. Общая теория полуколец возникла в 50-е годы XX столетия. Особенно интенсивно данная теория развивается в последние 15 лет, что связано с её успешным применением в дискретной математике, компьютерной алгебре, идемпотентном анализе, теории управления и других разделах математики (см., например: [16] и [34]). Теория алгебраических систем непрерывных функций на топологических пространствах имеет дело с решением трех основных классов задач:
1. Изучение двойственностей между топологическими пространствами и порожденными ими алгебраическими системами функций. Частью этой задачи являются вопросы определяемости тех или иных классов топологических пространств производными алгебраическими объектами;
2. Исследование связей между топологическими свойствами тополо-

а < Ъ и Ь € J. Покажем, что а е J. Для данных элементов а V Ъ — Ь. Используя равенство (3), получаем а + (Ь — а ЛЬ) — а V Ь 6 7, откуда в силу строгости идеала 7 следует а € 7.
2) => 1). Пусть 7 - выпуклый идеал полукольца Я+ и а,Ь <Е Я+. Если а + 6 € /, то в силу выпуклости идеала 7 из неравенств а < а + Ь ж Ъ < а + Ь вытекает а € 7 и Ь 6 7.
Замечание. В отличие от идеалов полукольца Д''/ полустрогие идеалы в полукольце 7?+ не обязаны быть строгими. В качестве примера можно привести полустрогие идеалы пК полукольца N.
Теорема 1.2.1. Для произвольного идеала I решеточно упорядоченного кольца Я эквиваленты условия:
1) 7(7) - конгруэнция, на Яу;
2) I - абсолютно выпуклый;
3) I - выпуклый, и а 6 I влечет |а| € I;
4) I - выпуклый идеал кольца, являющийся А-полурешеткой;
5) I - выпуклый идеал кольца, являющийся V-полурешеткой;
6) I - разностный выпуклый;
7) I - разностный, и I Г) Я+ - строгий идеал в Я+;
8) I - разностный, и I Г) Я+ - строгий идеал в Яу.
Доказательство. 1) =7 2). Пусть а, Ь - элементы из кольца Я, удовлетворяющие условиям а < Ь и 6 € I. Покажем, что а € /. Рассмотрим Ъ как разность неотрицательных элементов Ь+ и Ь~. Так как у(/) - конгруэнция на Яу, то Ь — Ь+ — Ь~ & I влечет (Ь+ V Ъ~) — (Ь~ V Ь~) — Ь — Ъ~ = Ь+ € /. Следовательно, Ь = 2Ь+ — Ь € I.
Поскольку Ь — 0 € /, то также получаем |6| V а+ — О V а+ £ / и