Т-пространства в ассоциативных алгебрах

• Автор: Киреева, Елена Александровна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 69 с.

Глава 1. Т-пространства в алгебрах многочленов
1.1 Вполне предупорядоченные множества
1.2 Случай простой характеристики
1.3 Случай характеристики п
1.4 Общий случай
Глава 2. Конечнопорожденные Т-пространства
2.1 Ограниченные Т-пространства
2.2 Т-пространства в нильалгебрах
Глава 3. Экстремальные многообразия
3.1 Основные теоремы
3.2 Доказательство предложения 3
Глава 4. Предельные Т-пространства
4.1 Основные утверждения
4.2 Случай поля характеристики
4.3 Случай поля характеристики р >
Литература
Теория ассоциативных алгебр с тождествами (РАалгебр) является важнейшим разделом современной теории колец. Одним из наиболее значительных событий в теории Р/-алгебр в последние десятилетия XX века стало положительное решение А. Р. Кемером [24] знаменитой проблемы Шпехта для алгебр над полями нулевой характеристики. Теория Т-пространств, являясь составной частью теории ГГ-алгебр, начала активно развиваться сравнительно недавно, около 15 лет назад. Понятие Т-пространства было введено А. В. Гришиным [12]-[14] в связи с близкими к проблеме Шпехта вопросами, и явилось обобщением понятия Т-идеала. За последние годы был получен целый ряд результатов, касающихся как самих Т-пространств, так и приложений этой теории к решению других вопросов для алгебр с тождествами, в первую очередь, к проблеме конечной базируемости Т-идеалов.
Пусть А — коммутативно-ассоциативное кольцо с 1, А — свободная ассоциативная А-алгебра (без единицы или с единицей) счетного ранга со свободными порождающими Х1,х-2,... (для обозначения которых мы также иногда будем использовать символы х,у и г). Элемент V = г»(а?1,. -х„) £ А называется полиномиальным тождеством, или просто тождеством, ассоциативной А-алгебры б, если и{д, ...,дп) = 0 для любых 51 дп 6 &. В этом случае выражение и = 0 также называют тождеством алгебры (?. Например, всякая коммутативная алгебра удовлетворяет тождеству [х, у = О (здесь [х,у] — ху — ух), всякая нильалгебра ограниченного индекса удовлетворяет тождеству хп — 0 для некоторого п € Г4, алгебра Грассмана удовлетворяет тождеству [[х,у],г] = 0. Если | £ £ 0} — произвольное, но фиксированное множество тождеств, то класс всех ассоциативных А-алгебр, удовлетворяющих одновременно всем тождествам (£ £ П), называется многообразием. Многообразие называется конеч-нобазируемым, если оно может быть определено конечным множеством тождеств, и неконечно базируемым в противном случае.
Идеал V свободной алгебры А называется Т-идеалом, если V — вполне характеристический идеал в А, то есть если а(И) С V для любого эндоморфизма а алгебры А. Хорошо известно, что между множеством всех многообразий ассоциативных А-алгебр и множеством всех Г-идеалов алгебры А существует естественное взаимнооднозначное соответствие. Именно, если V — многообразие ассоциативных А-алгебр, то соответствующий ему Т-идеал V алгебры А — это множество всех тождеств, удовлетворяющихся в каждой алгебре из V. С другой стороны, если V — Г-идеал в А, то соответствующее ему многообразие V — это многообразие, определяемое системой тождеств {и | V £ V}. Многообразие V ассоциативных А-алгебр является конечнобазируемым тогда и только тогда, когда соответствующий ему Г-идеал V конечнопорожден (как Г-идеал), то есть существует конечное множество элементов ...,и* £ V таких, что
любой элемент V £ V представляется в виде и = ]Г*_1 где от £ А;
9ь--ч9к,Ы Ьк € А; — эндоморфизмы алгебры А. Если V — многообразие ассоциативных А-алгебр, V — соответствующий этому многообразию Г-идеал в А, то факторалгебра А/У с порождающими хх+V, х2+V,... называется свободной алгеброй (счетного ранга) многообразия V или относительно свободной ассоциативной алгеброй. Основные определения, факты и библиографию, относящуюся к полиномиальным тождествам и многообразиям ассоциативных алгебр, можно найти в [4], [8],
Следуя [12]-[14], -подмодуль U в относительно свободной алгебре А/V назовем Т-прострапством, если U — вполне характеристический подмодуль, то есть a(U) С U для любого эндоморфизма а алгебры А/V. Примерами Г-пространств, не являющихся Г-идеалами, могут служить линейная оболочка коммутаторов [/, д] (/, д £ А) свободной алгебры А или множество всех центральных многочленов алгебры матриц порядка 2 и выше. Г-пространство U алгебры А/V называется конечнопорожденпъш, если существует конечный набор элементов ui Uk £ U таких, что любой элемент u£U представляется в виде и = Х)?=1 где аь..., а* £ К; <р щ — эндоморфизмы алгебры A/V.
В течение нескольких десятилетий оставалась открытой знаменитая проблема Шпех-та (первоначально поставленная в [47] в случае, когда К — поле рациональных чисел): верно ли, что каждое многообразие ассоциативных алгебр над полем К конечноба-зируемо? Или, эквивалентно: верно ли, что каждый Г-идеал свободной Ü'-алгебры А счетного ранга конечнопорожден как Г-идеал? Естественным обобщением этой проблемы является проблема Мальцева (см. [38]) о существовании неконечнобазируемых многообразий ассоциативных колец. Если К — произвольное поле характеристики О, то проблема Шпехта имеет положительное решение, это было доказано в середине 80-х годов А. Р. Кемером в замечательных работах [23] и [24]. С другой стороны, недавно А. Я. Белов [5], А. В. Гришин [12] и В. В. Щиголев [48] показали, что над полем простой характеристики р (над полем характеристики 2 в [12]) ответ на вопрос Шпехта отрицательный (см. также [6], [13], [16], [50]). Ими были построены примеры Г-идеалов в алгебре А, не являющихся конечнопорожденными. Тем самым было получено и решение проблемы Мальцева.
Оказалось, что между проблемой Шпехта и вопросом о существовании неконечно-порожденных Г-пространств в свободных алгебрах многообразий существует тесная связь. В каждой из работ [5], [12], [48] было построено свое неконечнобазируемое многообразие, отличное от построенных в двух других работах, однако в каждой из этих работ при построении такого неконечнобазируемого многообразия решающую роль играло неконечнопорожденное Г-пространство в некоторой относительно свободной ассоциативной алгебре. Позднее другими авторами были приведены другие примеры неконечнопорожденных Г-идеалов, однако при построении всех этих примеров также использовались неконечнопорожденные Г-пространства (см. [20], [2], [3]).
А. В. Гришин первым начал систематически изучать Г-нространства, прежде всего с точки зрения их конечной порожденное (см. [12] - [15]). Им был построен первый пример неконечнопорожденного Г-пространства над полем положительной характеристики. Именно, А. В. Гришин [15] доказал, что Г-пространство, порожденное элементами х...х (п £ N) над произвольным полем характеристики 2, не является конечнопорожденным как Г-пространство, причем оказалось, что данное утверждение будет верным и по модулю близкого к коммутативности тождества [[л, у], z] = 0, а также, если рассматривать алгебры без единицы, то и по модулю тождества х4 = 0. Примеры неконечнопорожденных Г-пространств над бесконечными полями характеристики р > 2 были получены В. В. Щиголевым в [49]. В частности, им было доказано, ЧТО Г-пространство, порожденное элементами 3%~13%~1[Xi,X2] •.
(п £ N) в алгебре с единицей над произвольным бесконечным полем характеристики р > 2, не является конечнопорожденным, причем данное утверждение будет верным и по модулю тождества [[х, j/],z] = 0, а также, если рассмотреть данное Г-пространство, как Г-пространство в подалгебре без единицы, то и по модулю тождества хр = 0. Также В. В. Щиголевым были построены примеры неконечно-порожденного Г-пространства, порожденного мономомами, над бесконечным полем характеристики р > 2, а также неконечнопорожденного Г-пространства, порожденного элементами, зависящими от двух порождающих. Впоследствии В. В. Щиголевым
если р = 2, и элементами
fiai а2к +Up(k ^ 1), X? + Up, Xixf + Up,
если р > 2.
Теорема 8 S — предельное Т-пространство в алгебре A/Up.
Обозначим символом 5 T-пространство в алгебре А, порожденное элементами Qk (к ^ 1), ххх, [[хх,х2],х3], хх[[х2,х3],х4], если р = 2, и элементами
fiai,.(А: ^ 1), х?, Xjx^, [[xi,x2],x3], xx[[x2,x3],x4],
если р > 2.
Теорема 9 5 — предельное Т-пространство в алгебре А.
Утверждение теоремы 7 вытекает из следующего предложения.
Предложение 4.1 Если H — Т-пространство в алгебре A/Vp, Н Э S и Н ф S, то Н — конечнопорождено (как Т-пространство).
Предложение 4.1, в свою очередь, является следствием следующего предложения.
Предложение 4.2 Если H — Т-пространство в алгебре A/Vp, Н 3 S и Н ф S, то найдется п 6 N такое, что
X2n+l[Xl,X2] [х3,х4] •... • [x2n_x,x2„] + Vp€ Н.
Нам понадобятся следующие леммы.
Лемма 4.1.1 Пусть р = 2. Тогда Т-пространство S содержит все элементы вида
H + V2 (4.3)
П • [xi,xhxh ...xjm] + V2 (т > 1) (4.4)
П • Xi[xi,Xj] + V2 (4.5)
П • х,[х,-,xhxh ...xjm] + V2 (m > 1) (4.6)
П • х{[хuXj) [xk,xhxh ...xjm} + V2 (m > 1) (4.7)
где П — произведение элементов вида х23, хахе[х,,х4] и [х,,х(] (в < Ь) (и во всех случаях, кроме первого, может отсутствовать), все индексы попарно различны.
Можно проверить, что в этом случае 5 является линейной оболочкой элементов вида (4.3)-(4.7).
Следствие 4.1.2 Пусть р = 2. Тогда для любого п € N
[хх,х2] [х3,х4] •... • [х2„-1,х2п] + Ур е Я.
Заметим, что если р > 2, то элементы указанного в следствии 4.1.2 вида входят в порождающее множество Т-пространства 5.