Конструкции вложения для лиевых и йордановых псевдоалгебр

• Автор: Колесников, Павел Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 111 с. : ил

Оглавление
Введение

1. Предварительные сведения о конформных алгебрах

1.1. Конформные алгебры

1.2. Свободные конформные алгебры н лемма

о композиции

1.3. Универсальные обертывающие конформные алгебры

2. Псевдотензорные категории и псевдоалгебры

2.1. Алгебры Хопфа: основные обозначения

2.2. Псевдотензорные категории

2.3. Категория М(Н)

2.4. Псевдоалгебры
2.5. Ассоциативные и лиевы псевдоалгебры
2.6. Псевдолинейные отображения
2.7. Примеры псевдоалгебр
3. Ассоциативные обертывающие для конечных
псевдоалгебр Ли
3.1. Нормальная форма элементов ассоциативной обертывающей
3.2. Вполне частично упорядоченные множества
3.3. Нетеровость ассоциативных обертывающих
4. Базис Грёбнера — Ширшова универсальных
обертывающих простых конформных супералгебр серии ТУдг
Оглавление
4.1. Комодульная конструкция обертывающей для ТУдг
4.2. Определяющие соотношения для 1Кл’
4.3. Слабый базис
4.4. Замыкание относительно композиции
4.5. Универсальные обертывающие некоторых подалгебр
5. О некоторых многообразиях неассоциативных
псевдоалгебр
5.1. Многообразия псевдоалгебр
5.2. Йордановы конформные алгебры
5.3. Альтернативные псевдоалгебры и псевдоалгебры Мальцева
5.4. Конструкция Титса — Кантора — Кёхера для йордановых псевдоалгебр
5.5. Простые йордановы псевдоалгебры
Литература
Работы автора по теме диссертации
Введение
Теория конформных алгебр, основы которой заложены в работах В. Г. Каца [26], [27], [29], является сравнительно новой и бурно развивающейся областью алгебры. Интерес к этой теории обусловлен в первую очередь тем, что она тесно связана с математической физикой. Отношение между конформными и вертексными алгебрами, возникшими в конформной теории поля (А. А. Белавин, А. М. Поляков,
А. Б. Замолодчиков [8]), в некотором смысле аналогично отношению между алгеброй Ли и ее универсальной обертывающей [26]. Кроме того, вертексные алгебры нашли применение в теории представлений простых конечных групп, а именно, в построении Moonshine представления Монстра (см. работы Р. Борчердса [13], а также И. Френкеля, Дж. Деповски и А. Меурмана [20]). Теории вергексных алгебр в настоящее время посвящено огромное количество работ, в которых, по большей части, исследуются конкретные вертексные алгебры. Среди работ, содержащих общие конструкции, можно отметить [14], [33], [34], [22-25].
Формализм вертексных алгебр описывает расширенное операторное произведение (operator product expansion, OPE) формальных распределений (или киральных полей по физической терминологии). Формальные распределения представляют собой бесконечные (в обе сто-
2.4. Псевдоалгебры

Поэтому X = к [[<і,
Если Н = к[9], X = к[[$]], то 171 - произведение есть в точности п-е конформное произведение: (а Ь) = (а п Ь).
Более широкий класс алгебр Хопфа — полупрямые произведения (етавії-ргосігкйз) универсальных обертывающих и групповых алгебр. Пусть Г — группа, действующая на Н' = и ([)) автоморфизмами (() — конечномерная алгебра Ли). Тогда полупрямое произведение Н' и групповой алгебры к [Г] является алгеброй Хопфа, обозначаемой через Я'#к[Г]. Коалгебраическая структура на Я'#!к[Г] остается той же, что на их тензорном произведении.
Следующее предложение (доказанное в [6]) описывает разницу между Н'- и Н''#к[Г]-псевдоалгебрами.
Предложение 2.2 [б]. Псевдоалгебра Р над Н = Я'#к [Г] есть то же самое, что псевдоалгебра вал Н', на которой группа Г действует согласованно с действием Н1 (г. е. (р-/)а = з(/(<7_1а)), д Є Г, / Є Н', а Є Р), с сохранением псевдопроизведения:
(да* дЬ) = д ■ (а*Ь), деГ,а,ЬеР;
а также действие Є на Р удовлетворяет следующему условию конечности:
для данных а. Ь Є Р, (да * Ь) ф 0 только для конечного числа з Є Г. Н-псевдопроизведение на Р задано формулой
а * Ь = ВОТ1 ® 1) 1)(^а *' &)> (2.4.14)

где а,Ъ Є Р, *' обозначает Н'-псевдопроизведение на Р.
Из (2.4.14) легко видеть, что идеал Я-псевдоалгебры Р есть то же самое, что Г-инвариантный идеал в Я'-псевдоалгєбре Р.