Применения К-теории в алгебраической геометрии

• Автор: Панин, Иван Александрович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Ленинград
• Количество страниц: 106 c. : ил

Глава I. 1^—когомологии гладких проективных многообразий

§ I. Предварительные сведения

§ 2. Одна точная последовательность

§ 3. Кручение в І^—когомологиях

§ 4. Кручение в гладких кривых

§ 5. Поля с нулевым ••••••••••••••

Глава II.' Многообразия Севери-Брауэра

§ I. Определение и простейшие свойства

§ 2. Две конструкции

§ 3. Циклы на многообразиях Севери-Брауэра

§ 4. Вспомогательные утверждения

Глава III. К-теория гензелевых нормированных колец
§ I. Про-объекты и про-категории
§ 2. Нильпотентные пространства
§ 3. Теорема Уайтхеда для про-пространств
§ 4. Вспомогательные леммы
§ 5. Теорема Гуревича для про-пространств и гомотопий с конечными коэффициентами
§ 6. Приложение к алгебраической К-теории
ЛИТЕРАТУРА

г ВВЕДЕНИЕ
(0.1) В диссертации изучаются три задачи алгебраической К-теории:
(A) вычисление групп Кг -когомологий гладких проективных алгебраических многообразий над конечными и алгебраически замкнутыми полями;
(B) изучение многообразий Севери-Брауэра, в частности, вычисление их групп чжоу ;
(C) вычисление К-теории гензелевых нормированных колец.
Алгебраическая К-теория возникла в конце 50-х годов в работах Гротендика, посвященных доказательству общей теоремы Римана-Роха (см. [46]). С каждым алгебраическим многообразием У Гротен-дик связал две абелевых группы К0Х и К' X . Первая строится по локально свободным пучкам -модулей. Вторая - по всем когерентным лучкам -модулей. В начале 60-х годов Атья построил топологическую К-теорию и применил ее в совместной работе с Зингером [3Ï] к вычислению индекса эллиптического оператора на компактном многообразии.
В 1964 году в работе Басса [32] для ассоциативного с единицей кольца R была определена группа kA R как фактор полной линейной группы GrL ( R.) по подгруппе элементарных матриц ECR.). В Х966 году Милнор определил группы Хг £ для произвольного ассоциативного с единицей кольца £ как ядро универсального центрального расширения группы элементарных матриц. Один из глубоких результатов этого периода развития К-теории - решение конгруэнц-проблемы в работе Басса, Милнора и Серра [33].
В конце 60-х - начале 70-х годов различными авторами были предложены конструкции высших К-групп [6, 61, 77, 86, 87, 100]. Наиболее удобными оказались "плюс" и „ d" конструкции Квиллена ,

Гг т ~
[87]. Общий взгляд Квиллена на высшую алгебраическую К-теорию
выражается его словами [87]: ”... низшая К-теория - это исчисление матриц, высшая К-теория - исчисление функторов". Плодотворность этого взгляда была убедительно продемонстрирована в его работе [87], ставшей уже классической. В ней К-группы нетеровой схемы X определены как гомотопические группы нерва категории 0. , естественно строящейся по категории локально свободных пучков Оу -модулей, К -группы строятся так же, но по категории всех когерентных пучков 0Х -модулей.
(0.2) Вычисление К-теории - очень трудная задача. К настоящему моменту полностью вычислена только К-теория конечных полей [853» алгебраически замкнутых полей [98], гензелезации локального кольца рациональной точки гладкого многообразия, определенного над конечным или алгебраически замкнутым полем. Как показано в работе Квиллена [85] = 0 ((Г^) = 1/^-1) 7 ;
а пространство ^СЩСУ1- гомотопически эквивалентно гомотопи-ческому слою операции Адамса &0 ** 1ЫГ »возникшему ранее в работе Квиллена, посвященной доказательству гипотезы Дцамса. Этот же результат был передоказан Фридландером [57] совсем другим методом. К-теория алгебраически замкнутых полей была вычислена в работе Суслика [98]. Ответ удобно записывать в терминах К-групп с коэффициентами: если и, , то
Ки.:1(Р,7/^)=с? , К^( если и.=сЛа-г Р , то кД?}Ль.7)~0
Такой ответ и предполагался гипотезой Квиллена - Лихтенбаума. К-теория вышеуказанных гензелевых алгебр устроена так же, как и К-теория поля вычетов такой алгебры в виду теоремы Габера (см., например, [65]):
если О - гензелезация локального кольца гладкой рациональной

Ч/ Л (0,
Р (0)

->|Р с^®р) —£->1Р (5^р*н)
ХВ *т> р *ъ Р
Доказательство. Правый квадрат коммутативен в силу(2.2.5). Левый - поскольку ^од определяется вложением
0-^Л®3 с__>5 (см.2;1.13), где р-Х-о—*Ьр*еР
р*ЧТ>) 1 и '
структурный морфизм.
2.2.7. Рассмотрим коммутативную диаграмму

ч.««*35иА.
где (см^(2;2.4) и (2.2.5)), р -естественные проекции, ^ - проективизация вложения
3®г*""1®© с__о©г>и'1©5®г , в=<£г°(
р Р Р О
2^2.8. Лемма. После замены поля Г на Г диаграмма (2.2*7) становится изоморфной диаграмме (2*2;!)» причем £=.и.-ы-1 ,
к-и-Сн-Я-! и с(К>'^6> (X ( )) . ВДе
г Ил—X
черта означает переход от Р к Р . В частности, в в -процесс вдоль ё Гу 1 •
•и-*,*, АМ1И.1Ш
Доказательство. Единственная трудность - в проверке равен-