Формы алгебр Ли картановского типа

• Автор: Скрябин, Сергей Маркович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 122 с.

Итогом диссертации является описание форм алгебр Ли карта-новского типа над полями характеристики р > 0. Напомним, что если А — произвольная алгебра над полем к и. к' С к — подполе, то Аг'-подалгебра А' С А называется А/-формой алгебры А, если каноническое А;-линейное отображение к <8/t' А' -■> А биективно. Задача об описании форм представляет особый интерес для простых алгебр. Действительно, в процессе классификации простых алгебр приходится работать над алгебраически замкнутым полем, так как это позволяет использовать весовые разложение алгебры относительно линейных операторов. Распространение классификации на незамкнутые поля требует нахождения форм простых алгебр над алгебраически замкнутым полем.
Классификация простых алгебр Ли над алгебраически замкнутым полем в настоящее время завершена только при р > 7 [73]. В соответствии с гипотезой Кострикина-Шафаревича единственными простыми алгебрами Ли при р > 7 являются классические алгебры и алгебры картановского типа.
В этом введении дается обзор предшествовавших результатов о формах алгебр Ли классических и картановских типов, а также обсуждаются различные методы спуска.
§1. Формы классических алгебр Ли
1.1. Спуск Галуа
Наиболее известен метод спуска в случае, когда к/к' — конечное расширение Галуа. Пусть G — Gal (к/к') — группа Галуа и А — алгебра над к. Если а £ G, то А:'-линейная биекция <р : А —> А называется <т-полулинейным автоморфизмом алгебры А, если
ip(ab) — ip(a)ip(b) и <р(Аа) = <т(А)ср(а)
для всех а,Ь £ А, А G к. Обозначим через G-AutA группу всех а-полулинейных автоморфизмов алгебры А для различных а £ G. Гомоморфизм групп р : G —> G-AutA называется предкоциклом, если р(сг) является ст-полу линейным для каждого ст £ G. Тогда А:'-формы алгебры А находятся во взаимно однозначном соответствии с пред-коциклами G —» G'-Aut А. При этом Аб-форме А' соответствует пред-коцикл р, заданный по правилу р(ст) = ст О id^ при отождествлении А = к <8>fc' А!. В обратную сторону, предкоциклу р соответствует Аб-форма

А' = Ap(G'> — {а £ А | р(<т)а = а для всех а 6 G}.
Заметим, что группа Aut А всех &-линейных автоморфизмов алгебры А есть нормальный делитель группы G-Aut А. В случае, когда зафиксирована некоторая Аг'-форма Ад, суперпозиция соответствующего ей предкоцикла ро : G —t G-Aut А и присоединенного представления группы G-Aut А в Aut А задает действие группы G автоморфизмами группы Aut А. В этом случае fc'-формы алгебры А находятся во взаимно однозначном соответствйи с коциклами G —> Aut А, под которыми понимаются отображения, удовлетворяющие тождеству
Предкоциклу р соответствует коцикл /(и) = р(сг)ро (сг)-1, а 6 G. Сопряженность /г'-форм относительно действия группы автоморфизмов Aut А соответствует некоторому отношению эквивалентности на множестве коциклов, причем классы эквивалентности образуют множество Hl(G, Aut А) классов когомологий с некоммутативными ко-э ф фициентами.
Часто оказывается, что формы одной алгебры определяют при помощи некоторой конструкции формы другой алгебры. Примером может служить соответствие между формами заданной алгебры А и формами алгебры Ли L = Der А всех к-линейных дифференцирований алгебры А. Ясно, что с каждой /г'-формой А' алгебры А связывается fc'-форма L1 = Der А' алгебры Ли L.
Предложение. Если канонический гомоморфизм групп Aut А —> Aut L биективен и алгебра А обладает хотя бы одной к'-формой, то соответствие между к1 -формами алгебр А и L взаимно однозначно.
Заметим, что наличие С-формы алгебры А существенно, так как без этого нельзя установить биективность гомоморфизма G-Aut А —» G-Aut I.
В сформулированном предложении под А может пониматься алгебра в универсальном смысле, т. е. векторное пространство с некоторым набором полилинейных операций. При этом в Der А входят линейные операторы D на А с условием, что

Е) (щ(сц пг)) — Lü(g- Daj

для каждой полилинейной операции со арности г, входящей в заданную структуру алгебры, и сц,... ,аг € А.
Спуск Галуа обобщается и на случай бесконечного расширения Галуа в предположении, что А конечномерна. В этом случае группа G снабжается топологией Крулля, а группа G-Aut А — топологией,

в которой базис окрестностей единичного элемента образуют множества, состоящие из полулинейных автоморфизмов, действующих тождественно на некотором конечном подмножестве из А (индуцированная топология на Aut А дискретна). ТогдаААформы алгебры А находятся во взаимно однозначном соответствии с непрерывными предкоциклами G —t G-Aut А (а также с непрерывными коциклами G —> Aut. А при фиксации fc'-формы).
1.2. Случай поля характеристики нуль
Описание форм алгебр Ли типов А„, Вп, Сп, Dn за исключением D4 получено в [23, 24, 25, 41, 42]. Для типа G2 это сделано в [26], а для типа F4 — в [76, 77].
Теорема. Формы простых алгебр Ли типов Ап, Вп, Сп, Dn, F4, G2 за исключением D4 находятся во взаимно одиозна,чном соответствии с центральными простыми конечномерными алгебрами из следующих классов:
для типов А, В, С, D — ассоциативные алгебры с инволюцией, для типа Gi — неассоциативные альтернативные алгебры, для типа F4 — исключительные йордановы алгебры.
Соответствие между формами задается конструкцией из п° 1.1. Каждый раз применимо сформулированное там предложение, поскольку любая конечномерная центральная простая алгебра Ли расщепляется над некоторым конечным расширением Галуа.
Ассоциативная алгебра с инволюцией есть пара (А, J), где А — ассоциативная алгебра, а J — ее инволютивный антиавтоморфизм. Если алгебра (А, J) — центральная простая, то А сепарабельна, и любое ее дифференцирование является внутренним. Кроме того, дифференцирование D = ad а, где а Є А, коммутирует с J тогда и только тогда, когда J{a) = —а. Подпространство g = [а £ А | J{a) = —а} есть лиевская подалгебра в А и g — [g, g] ф (g П G), где С — центр алгебры А. Отсюда
Der (А, J) — fl/ß П С = [fl,g]-
Это дает более традиционное описание форм алгебр Ли типов Ап-Dn (см. [28]).
В случае типов D4, Eq, Ej, Es отсутствует столь простое описание форм. Различные классы форм в терминах алгебр более сложной структуры были построены в [1, 3, 16, 17].
1.3. Модулярный случай
Теорема из п° 1.2 остается верной и для полей характеристики р > 0 при определенных ограничениях на р. Причина, по которой

Доказанное утверждение применимо в частности к XV, так как присоединенное действие XV на себе согласовано со структурой /{-модуля. Поскольку XV С Der.fi!, то сііт^ XV < сю ввиду (3.1). Поэтому ранг свободного Д-модуля XV конечен. В частности, XV отождествляется с Д-модулем, двойственным Д-модулю Схп(ХХ, Д) = Нотд(1Т, Д). Как мы знаем, СдОТ, Д) также является (Д, ТТ)-модулем. Далее, Д-под-модуль Я-сШ С Сд(XX', Л) устойчив относительно действия XV. Это дает структуру (Д, 1Т)-модуля на факторе М — C1R(XV, Д)/(Д-сШ). Как было доказано, М свободен над Д. Применяя функтор Нотд(?, Д) к расщепляющемуся эпиморфизму Д-модулей С^ХУ.К) —? М, мы получаем мономорфизм Нотд(М, Д) —» XV. Более точно, Нотд(М, Д) отождествляется с Д-подмодулем N С XV состоящем из таких И, что тДП) = 0 для всех г Є Д • <111. Если О Є IV, то Df — df(D) — 0 для всех / € Д, откуда П — 0 ввиду (3.4). Значит, Нотд(М, Д) — 0. Но тогда и М = 0, что влечет С^(ХХ, Д) = Д • сЩ.
Тем самым (3.9) проверено для тривиального обратимого модуля коэффициентов де Рама. В общем случае лемма 2.2 из главы I показывает, в частности, что Сд(1Т,Д) = Д-С'д(И7, Д). Из уже доказанного получаем Сд(И7, Д) =Р-<1 Д. Заметим, что г -о!/= Завершим доказательство (3.8). Используя (3.9), подберем точные формы с1х,... ,йхп Є (/^(И7 Д), редукции которых по модулю ш дают базис векторного пространства Сд(ТТ, Д)/тС]г(И7, Д) над полем вычетов Д/т кольца Д. Из (3.6) и леммы Накаямы следует, что сіхі <1хп порождают Д-модуль Сд(ХХ, Д), но, так как С{Х¥, Д) свободен над Д, эти формы образуют его базис. Пусть £>і —
двойственный базис Д-модуля XV. Тогда D^Xj = <1х3 {В;) = 6г} для всех і, і. Запишем

[А;,д?] = ю /гцА, где /ці Є Д. г=і
Применяя дифференцирования, стоящие в обеих частях равенства, к элементу XI, находим /^7 = 0. Итак, [Р,-,.0,-] = 0 для всех г,j.
Обозначим через Оп свободную алгебру разделенных степеней от п переменных а?і хп над полем к. Напомним, что Оп коммутатив-
(г)
на и задается в системе образующих х , где г = 1 п и г > О, соотношениями
г(°) — 1 Г(Г) (в) _ (г + 5)- (г+'в)
* г V _ г!«!
Базис алгебры Оп образуют мономы вида ■ ■ ■ Хтт где
а = («і ап) — набор целых неотрицательных чисел. Обозначим