Изоморфизмы линейных групп над ассоциативными кольцами

• Автор: Аткарская, Агата Сергеевна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 98 с.

Оглавление
Введение

1 Основные понятия

1.1 Основные понятия теории линейных групп

1.2 Предварительные сведения об унитарных группах

1.3 Предварительные сведения о градуированных кольцах и модулях

2 Изоморфизмы общих линейных групп над ассоциативными

кольцами

2.1 Вспомогательные определения и утверждения

2.2 Доказательство основной теоремы (теоремы 3)

2.3 Доказательство вспомогательных предложений 3 и

2.4 Обобщение основной теоремы на случай градуированного кольца Л
3 Изоморфизмы стабильных линейных групп
3.1 Вспомогательные результаты
3.2 Построение изоморфизма между кольцами (Е(Д)) и (Е^)},
где Д: = ММаЛ, оо(Д)/ц
3.3 Доказательство основной теоремы
4 Изоморфизмы стабильных унитарных групп
4.1 Обозначения и соглашения
4.2 Предварительные результаты
4.3 Построение изоморфизма между кольцами (и (Д)) и (и (ДД),
где Д1 = 2:иМа12,со(>5,)^
4.4 Доказательство основной теоремы

Введение
Работа посвящена изучению изоморфизмов между линейными группами над ассоциативными кольцами. Кроме классической полной линейной группы СЬ„(Л), рассматриваются также группы над ассоциативными градуированными кольцами, стабильные линейные группы и стабильные унитарные группы. Описывается действие изоморфизма между данными группами на соответствующих элементарных подгруппах.
Изучение автоморфизмов линейных групп началось с работы Шрайера и Ван-дер-Вардена [29], в которой были описаны автоморфизмы группы Р8Ь„, п ^ 3, над произвольным полем. Затем примененный в этой работе метод был обобщен в работе [16], и с его помощью Хуа были описаны автоморфизмы симплектических групп над полем характеристики, не равной 2. Далее в 1950х Дьёдонне и Риккартом был введен метод инволюций. С его помощью в работах [14], [26] и [27] были исследованы автоморфизмы группы СЬП, п ф 3, а также унитарных и симплектических групп над телами характеристики, не равной 2.
Затем Хуа и Райнером [17] было получено описание автоморфизмов группы СЬ„(Е). В работах [19](Лэндин, Райнер) и [30](Вань Чжесянь) их результат был обобщен на некоммутативные области главных идеалов.
В 1960х О’Мирой был разработан метод вычетных пространств. При помощи данного метода были изучены автоморфизмы СЬ п, п Д 3, над областями целостности, [24], и автоморфизмы симплектических групп специального вида над полями (так называемые группы, богатые трансвекциями), [25]. Независимо с помощью метода инволюций Янь Щицзянем [28] также были описаны автоморфизмы группы Е„(Я), п ^ 3, где Я — область целостности характеристики ф 2.
В работе [21] Макдональдом и Помфрэ были исследованы автоморфизмы СЬ „, п ^ 3, над коммутативным локальным кольцом с Далее, Уотерхаузом [31] было получено описание автоморфизмов группы СЬ „, гг ^ 3, над

произвольными коммутативными кольцами с Затем В.М. Петечуком [8] изучены автоморфизмы СЬ„, п > 3, над коммутативным локальным кольцом с После этого при помощи разработанного им метода локализации
В.М. Петечук [9] получил описание автоморфизмов СВ п ^ 4, над произвольным коммутативным кольцом. Изучались также группы автоморфизмов свободных модулей бесконечного ранга. В работе [20] Ли Фуанем был описан вид автоморфизмов стабильных линейных групп над произвольными коммутативными кольцами.
Макквин и Макдональд в [22] получили описание автоморфизмов групп Бр„ размерности ^ 6 над коммутативным локальным кольцом, содержащим |. Продолжая работу в этом направлении, в 1980 году В.М Петечуком [10] были исследованы автоморфизмы симплектических групп над произвольным коммутативным локальным кольцом. А затем, в 1983 году, применив метод локализации, В.М Петечук в [11] обобщил результаты работ [22] и [10] на случай Эр „(Я), га ^ 6 над произвольным коммутативным кольцом Я.
И.З. Голубчиком и А.В Михалёвым было дано описание изоморфизмов группы ОЬ„(Я) в случае ассоциативного кольца Я с (без предположения о коммутативности) при га ^ 3 в работе [3], и независимо в то же время подобные результаты (другими методами) были получены Е.И. Зельмановым в работе [5]. В этих работах доказана следующая
Теорема 1. Пусть Лив— ассоциативные кольца, содержащие га, т ^ 3 и : СЬ„(Я) —» ОЬт(Я) — изоморфизм групп. Пусть также ОЕ„(Я) = (Е + гву, diag [ах, 02,...] | г ^ фг € Я, ад, € Я*). Тогда существуют центральные идемпотенты ей/ колец Ма1„(Я) и Ма1т(5) соответственно, кольцевой изоморфизм
в : еМа1„(Я) —> /ЪА&Ьт(3), кольцевой антиизоморфизм
в2 : (1 - е)Ма1„(Я) —» (1 - /)Ма 1т(5) и групповой гомоморфизм
X : СЕ„(Я) ^ £(СЬт(5)),
такие, что
Ч>{А) = Х(А)(01 (еА) + 02((1 - е)^“1)) для всех А е СЕ „(Я).

Тогда получаем, что
Єе2т{(1) — ЄіЄ2т(^)еіЄ2 =
/1 -3* О 1 О -3* О
О 3*

Далее, а2 коммутирует с т(сГ) (в силу равенств т(с1) = Е + Зк(—дп + 9и — 932) = 1+3/г/12(-/зз+/з4-/4з),«2 = —/зз—/43+/34+.Е'—е2), значит, по лемме 3 найдется I с тем свойством, что 31с1 коммутирует с (р(Е — 2езз — е\ + 634 — едз). Поэтому [Згт(е(), 61,62] = [т(й), 61,62] = Е и еге2[т((1), 61з 62] = е^г-
Т.к. т(с£),61,62 коммутируют с е1в2 и (в1е2)2 = в1е2, то из последнего равенства получаем
п -3* 0 з* (0 1 0 0 (о 0 1 0 /1 0 0 0
0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0
0 _3 к 1 0 > 0 0 0 1 > 1 0 0 0 0 0 1
V* 0 0 ч 0 1 оу 1 0 оУ ^0 0 0 У
Обозначим 3^ через Л. Выполнено равенство
(1 -А 0 А (0 1 0 0 / 1 А А2 -А
0 1 0 0 1 0 0 0 -А 1 А
0 -А 1 0 0 0 0 1 -А2 А А2 + 1
- 0 0 У 0 1 ОУ - -А 0 0 1 )
Тогда
( 1 А А2 —А /0 0 1 0 /0 0 1 ( 1 Л А2 —А
-А 1 А 0 0 0 0 1 0 0 0 1 -А 1 X
-А2 А А2 [phone] -А2 А А2 + 1
-А 0 0 і) 1 0 оУ о оУ —А 0 0 1 У
Приравнивая элементы на месте (1,4), видим, что Лди = 0. Следовательно, <714 = 0, т.к. А-1 = (З^)-1 £ 51. Тогда да = 0 для всех г = 1,2,3,4, значит,

е1е2 — XI 9и = 0. Пункт 1 завершен.

Положим
Сз — Т<р(Е — Єц — е22 — Є33 — Є44 + віз + Є24 + Є31 + Є42).