Топология Зарисского на алгебраических системах

• Автор: Котов, Матвей Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Омск
• Количество страниц: 91 с.

Содержание
Введение
Глава 1. Предварительные сведения
1.1. Языки и алгебраические системы
1.2. Уравнения и алгебраические множества
1.3. Топология Зарисского
1.4. Нётеровость по уравнениям
1.5. Радикалы и координатные алгебры
1.6. Дуальная эквивалентность категории алгебраических множеств
и категории координатных алгебр
1.7. Объединяющие теоремы
1.8. Обобщения свойства нётеровостп по уравнениям
1.9. Эквациональныс области
1.10. Топологические алгебраические системы
Глава 2. Нётеровость по уравнениям и сё обобщения
2.1. Нётеровость по уравнениям фактор-алгебр
2.2. Пример слабо нстеровой по уравнениям алгебры, которая не является нётеровой по уравнениям
2.3. Пример алгебры, которая является qa)-кoмнaктнoй, но не является иш-компактной
2.4. Необходимые условия и пш-компактности
2.5. Нётеровость по уравнениям от п переменных
2.6. Нётеровость по уравнениям и расширения языка
Глава 3. Некоторые результаты о топологии Зарисского
3.1. Непрерывность в топологии Зарисского
3.2. Образы алгебраических множеств при термальных отображениях

3.3. Совпадение совокупности алгебраических множеств с совокупностью замкнутых в заданной топологии множеств
3.4. Совпадение топологии Зарисского с заданной топологией
Глава 4. О топологизируемости счётных нётеровых по уравнениям алгебр
4.1. Связь между топологизируемостью и дискретностью топологии
Зарисского
4.2. Топологизируемость нётеровых по уравнениям алгебр
4.3. Доказательство критерия А. Д. Тайманова
Предметный указатель
Литература

Введение
Актуальность темы исследования. Алгебраическая геометрия над алгебраическими системами — это раздел математической логики в котором изучаются решения систем уравнений над произвольными алгебраическими системами. Г. Баумслагом, А. Г. Мясниковым и В. Н. Ремссленниковым были написаны работы [1, 2], в которых строилась алгебраическая геометрия над группами. Затем разработанный в этих работах подход Э. Ю. Данияровой, А. Г. Мясниковым и В. Н. Ремесленпиковым был обобщён на случай произвольных алгебраических систем. Ими была написана серия статей [3-8] в которой развивается алгебраическая геометрия над произвольными алгебраическими системами. Также Б. И. Плоткин опубликовал ряд работ [9, 10] по универсальной алгебраической геометрии, в которых рассматривались близкие вопросы. Также стоит отметить работы А. Г. Пинуса [11, 12] в этом направлении.
Алгебраическая геометрия над алгебраическими системами ставит перед собой следующие задачи [4]:
1. Перенос основных понятий и идей с алгебраической геометрии над конкретными алгебраическими системами на случай произвольной алгебраической системы.
2. Формулировка общих результатов и доказательство их без использования специфики конкретных алгебраических систем.
3. Последующее развитие общей теории, решение задач, которые естественно возникают на этом пути.
Основными объектами изучения алгебраической геометрии над алгебраическими системами являются алгебраические множества — множества решений систем уравнений. Основная задача алгебраической геометрии над алгебраическими системами — описание алгебраических множеств.

А. Д. Таймаповым в работе [36] был анонсирован аналогичный критерий для произвольной счётной алгебры счётного языка. Но автору не удалось найти в математической литературе доказательства этого утверждения, также И. А. Тайманов любезно предоставил автору возможность ознакомиться с черновыми набросками статьи А. Д. Тайманова «О топологизации алгебр», но в них разобран полностью только случай одной бинарной операции, поэтому в разделе 4.3 приведено доказательство этого критерия. В этой работе критерий А. Д. Тайманова переформулируется с использованием понятия топологии За-рисского.
Теорема 18 (Критерий А. Д. Тайманова). Счётная алгебра Л = (А, Ьд) счётного языка являет.ся топологизирусмой тогда и только тогда, когда топология Зарисского Зд не дискретна.
В работе К.-П. Подевского [35] содержится утверждение, которое с использованием понятия топологии Зарисского, может быть сформулировано так: счётная алгебра является топологизируемой тогда и тогда, когда топология Зд не дискретна, однако, как показано в работе [62] эта работа содержит не точности и такое утверждение не имеет место, а имеет место следующее, более слабое утверждение.
Теорема 19 (Критерий К.-П. Подевского). Счётная алгебра А = (А, Ад) счётного языка является Тх-топологизируемой тогда и только тогда, когда топология Зд не дискретна.