Плоские графы Кэли

• Автор: Беленкова, Жанна Тадеушевна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Омск
• Количество страниц: 101 с. : ил.

Оглавление
Введение
Глава 1.
ЗАМОЩЕНИЕ ПЛОСКОСТИ ПРАВИЛЬНЫМИ ТРЕУГОЛЬНИКАМИ
1. Группы с тремя порождающими
1Л. Первый способ распределения
1.2. Второй способ распределения
1.3. Третий способ распределения
1.4. Четвертый способ распределения
1.5. Пятый способ распределения
2. Группы с четырьмя порождающими
2.1. Первый способ распределения
2.2. Второй способ распределения
2.3. Третий способ распределения
2.4. Четвертый способ распределения
2.5. Пятый способ распределения
2.6. Шестой способ распределения
2.7. Седьмой способ распределения
2.8. Восьмой способ распределения
2.9. Девятый способ распределения
3. Группы с пятью порождающими
3.1 .Первый способ распределения
3.2.Второй способ распределения
3.3 .Третий способ распределения
4. Группы с шестью порождающими
ЗАМОЩЕНИЕ ПЛОСКОСТИ КВАДРАТАМИ
1. Группы с двумя порождающими
1.1. а и а1 лежат рядом
1.2. а и Ь лежат рядом
2. Группы с тремя порождающими
2.1. Ребра с и с1 лежат под прямым углом друг к другу
2.2. с и с1 — параллельные ребра
3. Группы с четырьмя порождающими
ЗАМОЩЕНИЕ ПЛОСКОСТИ ШЕСТИУГОЛЬНИКАМИ
1. Группа с двумя порождающими

2. Группа с тремя порождающими

СРАВНЕНИЕ С КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИМИ ГРУППАМИ
Глава
ПЛОСКИЕ ГРАФЫ КЭЛИ КОНЕЧНЫХ ГРУПП
1. Подготовительные леммы
2. Основные результаты
3. Примеры и приложения
Глава
ВСЕ ПЛОСКИЕ ГРАФЫ КЭЛИ ГРУППЫ У4
1. 2-порожденный случай
2. 3-порожденый случай
3. Все минимальные порождающие множества
4. Плоские графы группы Б4 в случае четырех и более порождающих
Приложения
Литература

Введение
Понятие группы впервые возникло в форме группы преобразований и в этой же форме чаще всего встречается в математике или математической физике.
Преобразованием множества X называется взаимно-однозначное отображение / Х—>Х этого множества на себя. Совокупность Бутт(Х) всех преобразований множества X совместно с операцией композиции образует полную группу преобразований множества X или группу подстановок на множестве X. Любая подгруппа С группы Еутт(Х) называется группой преобразований множества X.
Если на множестве X определена геометрическая, топологическая или какая-либо иная структура, то выделяют группу преобразований X, сохраняющих эту структуру. Например, преобразования, сохраняющие расстояние р(х,у) между точками евклидова пространства, то есть такие преобразования /, что р(ф(х),/(у))= р(х,у), образуют группу движений. Если все они фиксируют одну выделенную точку, то мы имеем дело с группой ортогональных преобразований.
Еруппа тех или иных преобразований, сохраняющих некоторый объект, интерпретируется, как совокупность его симметрий и называется группой симметрий. Например, группа симметрий плоского узора состоит из всех движений плоскости, переводящих его в себя; группа симметрий геометрической фигуры состоит из всех движений пространства, переводящих эту фигуру на себя и т.п.
Большой степенью симметрии обладают кристаллы, и поэтому группа симметрий кристалла является его важной характеристикой. Здесь под симметрией понимается перемещение пространства, сохраняющее расположение атомов кристалла и все связи между ними, перемещая каждый атом в атом того же элемента.
В настоящее время выделилось целое направление исследований, известное как геометрическая теория групп. Оно включает изучение групп, связанных с геометрическими и топологическими объектами (фундаментальных, групп классов преобразований и т.п.), а также изучение абстрактных групп геометрическими методами. Важное значение, например, имеют группы, действующие на деревьях. Смотри по этому поводу [1], [2], [3], [4], [5].
Естественным объектом, связанным с группой, который можно наделить структурой метрического пространства, является ее граф Кэли. Мы рассматриваем случай, когда группа конечно порождена.

аЬ=с1а
асИэа
adb=bda
1 ь

Ьс=сЬ

а) Пусть это ребро — Ъ (рис. 1.44). Тогда выражение из
второго цикла:
Ьс=сЬ.
Циклы справа и слева от первого цикла строятся автоматически по первому выражению. Теперь
рассмотрим цикл справа от второго построенного цикла. Ребро, направленное вниз из вершины Ьа, может быть либо Ъ, либо с. Однако Ъ быть не
может, иначе из вершины 1 в М должен быть путь длины 2,
неравный Ъ<Л. Осталось с. Последнее ребро в этом случае — а или а. Но а быть не может, так как иначе из Ьа в Ъс должен быть путь с<Л. Значит, это ребро — <Л. Выражение, полученное в этом случае,
сй=<Лс.
Остальные циклы получаются из этих трёх выражений. Полученная группа
<а, Ь, с, с/, | а2~Ъ2=с2=й2-1, ас1=Ьа, сЪ=Ьс, с(Л~с1с> изоморфна группе С413 из пункта 3.1.1.1.2)а).
б) Если последнее ребро второго цикла — (/, тогда получаем новое выражение:
Ъс-сс1.
Этих двух выражений достаточно, чтобы построить весь граф (Приложение. Рис.21). Получили группу
С415=<а, Ь, с, (1 | а1-Ъ2=с2—— 1, аЬ=<За, Ьс=сс1>.
Случай 1. рассмотрен полностью.
3.2. Теперь рассмотрим случай, когда ребро, выходящее из Ъ, — с. Тогда последнее ребро в первом цикле — это Ь или

3.2.1. Если оно — Ь, то получаем выражение
аЬ=Ьс.