Кольца и модули, имеющие топологическую размерность Крулля

• Автор: Тензина, Виктория Васильевна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 54 с.

1 Введение

2 Топологическая размерность Крулля

1 Необходимые определения и обозначения из теории топологических колец и модулей

2 Определение топологической размерности Крулля и некоторые её свойства

3 Топологическая 1У-размерность. Критические модули

4 Бесконечная прямая сумма замкнутых подмодулей

5 Топологическое кольцо полиномов

6 Топологический аналог леммы Леиагана

3 Топологический радикал Бэра и топологическая размерность Крулля

1 Определение топологического радикала Бэра

2 Топологическая точность

3 Сумма всех Е-нильпотентных идеалов топологического Р1кольца, обладающего топологически точным топологически нетеровым модулем
4 Топологический радикал Бэра топологического Р/-кольца, обладающего топологически точным топологически нетеровым модулем

5 Топологический радикал Бэра кольца с топологической размерностью Крулля
6 Топологические Р/-кольца, обладающие топологически точными модулями с топологической размерностью Крулля
Литература

Глс1Вс1
Областью исследования диссертационной работы является "теория топологических колец и модулей". Теории топологических колец посвящены такие работы как [1], [12], [13].
Цель работы — построение теории топологических колец и модулей, имеющих топологическую размерность Крулля, а также применение этой теории для изучения топологического радикала Бэра некоторых классов топологических колец.
Актуальность темы диссертации. Многие теоремы в теории топологических колец получены как результат обобщения соответствующих теорем из теории колец на топологический случай. Если что-то казалось содержательным в дискретном случае, то делалось предположение, что это может быть интересным и в общем, топологическом случае. Например, уже разработана общая теория топологических радикалов, на основе общей теории радикалов.
В [11], Ренчлер и Габриэль определили размерность Крулля для модуля как девиацию частично-упорядоченного множества всех подмодулей с упорядочением по включению. Все артиновы и нетеровы модули являются модулями с размерностью Крулля. Оказалось, что многие утверждения, справедливые для нетеровых модулей и колец, выполняются также и для модулей и колец с размерностью Крулля. Класс колец, имеющих размер-

Следующий пример демонстрирует топологическое Р/-кольцо с топологической размерностью Крулля, удовлетворяющее условиям (1), (2) предпоследней теоремы, топологический радикал Бэра которого не только не является Е-нильпотентным, но и пересечение всех степеней этого радикала не равно нулю, хотя замыкание суммы всех Е-нильпотентных идеалов этого кольца — Е-нильпотеитиый идеал.
Пример 11. Пусть с? — р-адическая метрика на <0>. Для любого положительного а существует множество Ра = {х £ <0> : д(х, 0) ^ а}. В качестве
р ( Р'
такого топологического кольца рассмотрим К = , в котором
V 0 2
множества ипти = задают базу окрестностей нуля для
некоторой топологии.
Докажем, что г К dim R = 1.
Пусть р — правый идеал кольца R. Если существует такой элемент х € р, что х — , где а € Pi, b G Q, с €Е Z и а ф 0, то € р, так
а Ъ 0 с
как для любого рационального q получаем
/0 Ъ1
Если такого х не существует, то р = . где Ь € <0>, с Є Т,.
0 сЪ )
Пусть її 2 12 Э ... — убывающая цепочка правых идеалов кольца И. Предположим, что для любого натурального числа п идеал 1п содер-
/ 0 <С]Л { Ап
оісит . Фиксируем натуральное п. Тогда Іп = I , где
V о о у о сп
Ап — идеал в Р, а Сп — идеал в Ъ. В таком случае г К дітІп/Тп+ = та.х{гКдітАп/Ап+х,гКдітСп/Сп+і}. Так как существуют натуральные числа т, к такие, что Ап — Ррт, Ап+ — Ррк, то фактор-модуль Ап/Ап+ содержит конечное число элементов. Легко видеть, что фактор-модуль Сп/Сп+1 также содержит конечное число элементов. Следовало