Исследование гиперболичности групп с одним соотношением

• Автор: Бускин, Николай Владиславович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 56 с. : ил.

ИССЛЕДОВАНИЕ ГИПЕРБОЛИЧНОСТИ ГРУПП С ОДНИМ СООТНОШЕНИЕМ

Введение
Определение гиперболической группы было сформулировано М. Громовым (см. [6]) в терминах метрических свойств графа Кэли группы относительно заданной системы порождающих. Классическим примером таких групп являются фундаментальные группы гиперболических многообразий, то есть фактормногообразий гиперболического пространства по действию дискретной группы изометрий. Гиперболические группы обладают многими интересными свойствами. Например, в классе гиперболических групп разрешимы такие классические проблемы комбинаторной теории групп как проблема равенства и проблема сопряженности элементов группы. Что касается проблемы изоморфизма, то известно, что она разрешима в классе гиперболических групп без кручения (см. Зела 3., [15]) и в классе относительно гиперболических групп без кручения, у которых все параболические группы это конечно порожденные абелевы группы (см. Дамани Ф., Гроувс Д., [3]).
В некотором смысле гиперболические группы похожи на свободные группы, поэтому интересно знать, как класс гиперболических групп пересекается с классом конечно порожденных групп с одним соотношением (они тоже в известном смысле похожи на свободные, см. [10], [22]), то есть, какие группы с одним соотношением будут гиперболическими, а какие нет. В общем случае эта проблема не решена. Отметим, что имеется до сих пор не доказанная гипотеза С. Герстена, характеризующая гиперболические группы с одним соотношением в терминах их подгрупп:
Гипотеза. Группа с одним соотношением гиперболична в том и только том случае, когда он,а не содержит в качестве подгруппы группу Баумслага-Солитэра В3(п,т) = (а, ЬаГ1Ьпа — Ът) пи для каких п, т ф 0.
Отметим, что даже если гипотеза верна, то остается неясным, как проверять по представлению группы с одним соотношением, содержит ли она группу Баумслага-Солитэра или нет.
Продвижение в классификации групп с одним соотношением в частных случаях было получено в работе [7], причем методы, использованные в этой работе, опирались на другое, эквивалентное определение гиперболичности, формулируемое в терминах
ИССЛЕДОВАНИЕ ГИПЕРБОЛИЧНОСТИ ГРУПП С ОДНИМ СООТНОШЕНИЕМ
изопериметрического неравенства для диаграмм над групповым представлением. Дадим это необходимое определение.
Пусть группа С задана порождающими и определяющими соотношениями
С= (АП),
где Л это множество порождающих (алфавит), а Ті это множество соотношений. Группа (7 называется конечно представленной, если множества Л и Ті могут быть выбраны конечными.
Пусть Д(Д) это свободная группа над алфавитом Л и ф : іДД) —> Є это канонический эпиморфизм. Будем говорить, что слово го равно 1 в группе Є, если ф{уо) = 1 в Є. Для такого слова го мы имеем равенство в группе Р[Л)
» = /Щ.'/Г'ЛЯВЯ1 ЛЯВД',
где Л Є Є(Л), Иі} єк,нєі = ±1,і = 1
Наименьшее число сі из всех таких возможных равенств для слова го будем обозначать й(го).
Будем говорить, что группа С = (ЛТІ) удовлетворяет линейному изопериметрическому неравенству, если существует константа Ь 0 такая, что для любого слова го, равного 1 в группе С, выполнено й(иі) Ьш, где |го| это длина слова го.
Это определение имеет простую наглядную интерпретацию в терминах диаграмм над группами: если М это минимальная
редуцированная диаграмма для слова т, определяющего тривиальный элемент группы Є (см. §2 главы 1), то д(и>) это число 2-клеток этой диаграммы или площадь, а |го| это длина се границы дМ или периметр. Таким образом, линейное изопериметрическое неравенство это действительно неравенство между площадью и периметром.
Конечно представленная группа С называется гиперболической, если она удовлетворяет линейному изопериметрическому неравенству.
Диссертация в основном (главы 1, 2) посвящена исследованию того, какие группы с одним соотношением (с ограничениями на длину или на вид соотношения) являются гиперболическими, а какие нет.
Осветим более подробно предмет исследования в главе 1. В работе [7] С. Иванов и П. Шупп полностью классифицировали по свойству гиперболичности группы с одним соотношением Д, содержащим не более трех вхождений некоторого порождающего а±г. В более сложном случае, когда число вхождений порождающего равно 4, ими были классифицированы группы с одним соотношением
ИССЛЕДОВАНИЕ ГИПЕРБОЛИЧНОСТИ ГРУПП С ОДНИМ СООТНОШЕНИЕМ

вида {Л | аТоаТіаТ2аїз), где Л - конечный алфавит, а Є Л и То, Ті, Тг, Тз - попарно различные слова в свободной группе Т(»Д {а}).
Автором диссертации решалась задача классификации по свойству гиперболичности двупорожденных групп с одним соотношением вида (а, Ь | а~1Ьп°аЬПіаЬТІ2аЬп''>), щ Є Ж, с некоторыми ограничениями на щ, подобными тем, которые авторы [7] налагали па Т,. Итогом работы явилась классификация по гиперболичности таких групп, содержащаяся в формулировках теорем 1.1 и 1.2 (см. §1 главы 1). Методы, по существу, заимствованы из работы [7], но при этом они были модифицированы, что позволило значительно сократить объемы технической работы, неизбежно возникавшей при “лобовом” применении методов.
Глава 2 содержит классификацию по гиперболичности двупорожденных групп с одним соотношением длины 8. Эта классификация была получена автором совместно с
О. В. Богопольским и А. А. Бутурлакиным. Для групп с длиной соотношения 7 такая классификация следует из результатов работы [7], классификация в случае длины 8 это нетривиальный новый результат.
В определенном смысле, наугад выбранное представление с одним соотношением с вероятностью 1 определяет гиперболическую группу (см. по этому поводу [13]). То есть, негиперболических групп с одним соотношением сравнительно мало. Тем не менее, при малых длинах соотношения группы эта статистика может не подтверждаться (что и наблюдается в сводной таблице в конце главы 2).
Задача классификации групп с одним соотношением небольшой длины интересна также потому, что такие группы часто возникают в геометрии и бывает полезно уметь отвечать на вопрос об их гиперболичности или негипсрболичности.
Методы доказательства гиперболичности (негиперболичности) в основном не отличаются от изложенных в главе 1 и происходящих из работы [7]. Вместе с тем есть отдельные интересные наблюдения и технические результаты, облегчающие во многих случаях классификацию. Например, в работе [26] было показано (на основе общих результатов Громова о гиперболических группах), что полупрямое расширение свободной группы ранга 2 Аг ха Ъ с помощью ее автоморфизма а бесконечного порядка не является гиперболической группой. Таким образом, группы с одним
ИССЛЕДОВАНИЕ ГИПЕРБОЛИЧНОСТИ ГРУПП С ОДНИМ СООТНОШЕНИЕМ

Для начала заметим, что каждый из наших шестиугольников имеет единственную сторону с меткой а2.
Рассмотрим произвольный шестиугольник I диаграммы М. Обозначим через е его сторону с меткой а2, пусть А это конец ребра е. Мы покажем, что расстояние от А до границы М не превосходит 1. Отсюда сразу будет следовать, что гс1(М) 5.
Предположим, что вершина А внутренняя. Тогда в вершине А к I должны примыкать еще два шестиугольника II и III. Заметим, что в любом шестиугольнике сторона, следующая сразу после стороны с меткой а2 имеет одну из следующих меток: Ь-1, Ъ~2 и а. Следовательно, одна из двух сторон, следующих за е в I и II должна иметь метку а. Без потери общности можно предполагать, что эта сторона принадлежит I. Тогда другая сторона имеет метку Ъ~1 (если бы это была метка Ь~2, то метка границы III, проходимой против часовой стрелки, содержала бы подслово Ь2а, а это невозможно, в Я такого под слова нет).
Итак, следующая за а2 сторона II имеет метку Ь~1. Тогда за ней в II следует сторона с меткой Ь~2. Аналогично, сторона, следующая за Ь~1 в III имеет метку а или а2.
Если мы предположим, что в диаграмме М к II и III примыкает некоторый шестиугольник IV, то на его границе, проходимой против часовой стрелки, можно прочитать Ь2а или Ь2а2, что невозможно. Значит, такого шестиугольника IV в М нет и <\?&(А,дМ) = 1.
Пример 3. = (а, Ъ | а~1Ь~1а3Ь3).
Прямая проверка показывает, что С это (6,3)-группа. Имеется ровно четыре способа представить циклическое слово Я = = а~1Ь~1а3Ь3 в виде произведения шести кусков (аналогично для Я~1):
а~х Ъ~1 а а2 Ь Ъ2, Ъ~2 Ь~х а~2 а~х Ь а,
а~х Ъ~1 а2 а Ь Ь2, Ъ~2 Ь~х аг1 а~2 Ь а,
а"1 Ь-1 а а2 Ъ2 Ь, Ь~1 Ь~2 а~2 а-1 Ъ а,
сТ1 Ъ~1 а2 а Ъ2 Ь, Ь~1 Ь~2 аг1 а~2 Ь а.