Приложения оценок сумм Клостермана к некоторым задачам метрической и аналитической теории чисел

• Автор: Устинов, Алексей Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Хабаровск
• Количество страниц: 155 с.

Содержание

Обозначения и соглашения

Предисловие
Введение

0.1. О задачах метрической теории цепных дробей

0.2. О числе знаменателей ценных дробей, не превосходящих

данной границы

0.3. О статистических свойствах алгоритма Евклида

0.4. Статистики Гаусса-Кузьмина для конечных ценных дробей

0.5. Задача Синая

0.6. Методы исследования
Глава 1. Вычисление первого и второго моментов
в одной задаче из метрической теории цепных дробей
1.1. О цепных дробях
1.2. Асимптотическая формула для математического ожидания
1.3. Выражение дисперсии через сумму специального вида
1.4. Вычисление трех вспомогательных сумм
1.5. Асимптотическая формула для дисперсии
Глава 2. Асимптотическое поведение первого и второго моментов
для числа шагов в алгоритме Евклида
2.1. О математическом ожидании и дисперсии
2.2. Предварительные вычисления
2.3. Асимптотическая формула для математического ожидания
2.4. Вычисление двух вспомогательных сумм
2.5. Асимптотическая формула для дисперсии
Глава 3. Задача Арнольда о статистиках Гаусса-Кузьмина
3.1. Переход к системе уравнений и неравенств
3.2. Анализ первого случая
3.3. Анализ второго случая
3.4. Асимптотическая формула в задаче Арнольда
3.5. Результаты для сектора и треугольной области
3.6. Уточнение теоремы Портера
3.7. О среднем числе шагов в алгоритме Евклида с выбором
минимального по модулю остатка

СОДЕРЖАНИЕ
Глава 4. Статистики траекторий в задаче Синая
4.1. Свойства целочисленных пар (т(<р),п(<))
4.2. Вспомогательные преобразования
4.3. Применение оценок сумм Клостермана
4.4. Выделение главного члена
Приложение
5.1. Асимптотические формулы
5.2. Оценки сумм Клостермана
5.3. Следствия оценок сумм Клостермана
5.4. Применение метода ван дер Корпута
5.5. О числе решений сравнения ху = 1 (mod q) под графиком
дважды непрерывно дифференцируемой функции
Список литературы

Обозначения и соглашения
1. Записи
/О) = 0(д(х)) и /(ж) «Г д{х)
означают, что во всей области определения для некоторой абсолютной положительной константы с выполняется неравенство 1/(ж)1 с' 9(х)- Если с = с(9) (константа зависит от некоторого параметра в), то будем писать
/(ж) = Ов(д(х)) и f(x) <0 д(х).
2. Для конечного множества М через і 1-М будет обозначаться число элементов М.
3. \х[ — расстояние от вещественного х до ближайшего целого числа:
||ж|| = min In — х.
" 1 пЄЖ '
4. Запись [до! ац

ж0 Ч
Жі +
' Н-

длины s с формальными переменными Жо, Жь
5. Для рационального г обычно (если не сделано дополнительных оговорок) будет использоваться каноническое разложение в цепную дробь г = [іоДі, ,ts длины s = s(r), где t0 = [г] (целая часть г), ti,
6. Через б'і (г) будем обозначать сумму неполных частных числа г:
si(r) = fo 4-1 + ... + ts.
7. Для рационального г, записанного в виде несократимой дроби, через р(г) и q (г) будем обозначать числитель и знаменатель этой дроби соответственно.
8. Для ж Є [0,1] и рационального г = [іоДії ,]> s(r) есть количество номеров j Є {1
1.4. ВЫЧИСЛЕНИЕ ТРЕХ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ СУММ
По лемме 1.6 с помощью оценки (1-28) находим:
<р(п)
WX{U) = ЕЕ' 5n(bm ± 1) Ji (а, 6,7П, п) — 2 log2 2
nU Ь
+2,о

п‘ С/1/2
nU пи
Подставляя в последнее равенство формулу (5.4), приходим к утверждению следствия. □
В дальнейшем также понадобятся асимптотические формулы для сумм A(U,0), A(U,1) и B(U,£), где
ЖЕ/,0 = Е ЛО, (1-29)
SeM(P)
вдо = Е л (о- (1.зо)
SeM(U)
Отметим, что
/5(0) = -7-г т, п{т + п)
и, согласно равенству (1.14),
Д(Е/,0) = £(Н).
JlEMMA 1.7. Для любого [72 выполняются асимптотические формулы
Л(0,1) = 1о8 и + С2 + °(0.у
« = -сштт? (‘»6 +1 - Ш)+ c’*(f)+° (w

Доказательство. Из равенства
dfs{ О
дЬ n((m£ + n)2(£ + l)±£)"
следует, что числа
a(b,m) = fs{ О
(1.31)
(1.32)
((m,£ + n)2(£ + l)±£)