Категории полигонов над полугруппами с системами локальных единиц

• Автор: Неклюдова, Валентина Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 107 с.

Оглавление
Введение
1. Категория полигонов S — Act
1.1. Основные определения и вспомогательные результаты
1.2. Некоторые свойства категории S
1.3. Проективные полигоны в S
1.4. Характеризация образующих в категории S
2. Функторы тензорное произведение и Нот
2.1. Тензорное произведение
2.2. Ковариантный Лот-функтор
2.3. Контравариантный Яот-функтор
2.4. Сопряженность функторов и ее следствия
3. Прямые пределы
3.1. Прямые пределы полигонов
3.2. Прямые пределы в категории SSLU
3.3. Функторы, перестановочные с прямыми пределами
4. Морита-эквивалентность полугрупп с системами локальных единиц
4.1. Необходимые условия Морита-эквивалентности
4.2. Критерий эквивалентности
4.3. Полугруппы с СЛЕ, эквивалентные моноидам
5. Двойственность Морита
5.1. Категория
5.2. Необходимые условия Морита-двойственности
5.3. Достаточные условия двойственности Морита
5.4. Произведения и копроизведения нерефлексивны

6. Эквивалентность категорий нечетких полигонов над полугруппами с СЛЕ
6.1. Категория нечетких полигонов над полугруппой с СЛЕ
6.2. Тензорные произведения нечетких полигонов
6.3. Категории нечетких полигонов над Морита-эквивалентными полугруппами
6.4. Морита-эквивалентность полугрупп с эквивалентными категориями нечетких полигонов
Литература

Введение
Аналогично тому, как представление кольца Л эндоморфизмами абелевой группы определяет Д-модуль, представление полугруппы 5 преобразованиями множества определяет 5-полигон (в некоторых источниках встречаются термины 5-операнд, 5-система, 5-множество). Категории полигонов над моноидами (то есть полугруппами с единицей) в течение последних тридцати лет являлись предметом интенсивного изучения многими математиками. Детальное изложение известных результатов содержится в [13]. Кроме того, полигонам над моноидами посвящен библиографический обзор [14], в который вошли работы, вышедшие до 1981 года.
Одним из направлений исследований моноидов является развитие теории эквивалентности и двойственности, аналогичной предложенной К. Мо-ритой для колец с единицей. Впервые двойственность категорий левых Л- и правых 5-модулей, названная впоследствии Морита-двойственностью, была рассмотрена К. Моритой в 1958 году в [23] и Г. Адзумайей в вышедшей годом позже работе [10]. Ими было доказано, что такая двойственность всегда реализуется функтором Яот(_, X), где бимодуль цХ$ является инъективным кообразующим с обеих сторон и, кроме того, Л = Епс1д(Х) и 5 = Еп(1к(Х). Помимо этого, доказано, что двойственность между категориями всех левых Л- и правых 5-модулей невозможна и что необходимо рассматривать их специальные подкатегории. Более поздние результаты, касающиеся Морита-двойственности колец с единицей, содержатся, например, в [24], [28] и [30].
В той же работе [23] и в более поздней работе [22] К. Морита исследует эквивалентность категорий левых модулей над двумя кольцами с единицей. Систематизированное изложение теорем Морита об эквивалентности колец с единицей содержится, например, в [9], [29].
В 1972 году У. Кнауэр [16] и Б. Банашевски [11] независимо перенесли на категории полигонов над моноидами теорию Морита-эквивалентности колец. Ими получены практически одинаковые результаты, а именно: два

б) если даны произвольные элементы [«г1], ИЗ 5 (sik € Д, к от 1 до гг),
то рассмотрев индекс j > гь ...гп и локальную единицу еу 6 Д такую, что
бу Ч Д/й — ‘>йДц ' е] = Дй ,
получим
[еу][5г*] — [е.75г)еД’ч] — [ДьДй] Д/е]/ к от 1 до п. Аналогично проверяется, что [чДД] = [чц.].
3. Положим Д = {[е*] | в; £ Д }, 5; = ДДД.
Ясно, ЧТО Ег - СЛЕ ДЛЯ 5;.
Покажем, что (5,-, Д) = (5г, Д) в категории Д51Д. Рассмотрим гомоморфизм
У-/" » Д А)
1 [®г] — [бг] [$г] [е 4],
где е; 6 Д - такая локальная единица, что ег-чг- = ч4е4 = ч.
Рассмотрим произвольный элемент [ч] из Д. Найдутся индекс ] е/и элемент чу е Д такие, что 5 = [чу]. Кроме того, поскольку Д - СЛЕ для Д, найдется локальная единица [е*] € Д такая, что [е4][чу] = [«у][е»] = [«у]. Возьмем в I индекс к > г,у. Тогда
Ч — [чу] [®г][][г]
Но из того, что чуГД - элемент из Д., а ГД - морфизм категории вБЫ/,
следует существование такого элемента чг- € Д, что выполнено равенство
еДД чДД ек = ч;ГД. Отсюда следует, что ч = [чДД] = [чг], что означает сюръективность гомоморфизма <р4
Гомоморфизм Lpi инъективен, так как если для некоторых чг и ч' из Д имеет место равенство ч4 i такой, что ч4ГД = ч'ГД. Но инъективен по условию, поэтому ч; = ч, что и означает инъективность гомоморфизма <р4. Итак, - изоморфизм полугрупп. Учитывая сюръективность <р,-, несложно показать, что <р; - морфизм категории ЯБЬи.
4. Положим
а: Д —»
Чг' I [ч4].
Несложно проверить, что П; - морфизм категории БЗЫ!. Докажем, что если семейство морфизмов {сг; : (Д, Д) —(Т, Д) | 1 6 /| таково, что диа-