Полугруппы, являющиеся Ο-объединением полугрупп Брандта

• Автор: Арапина-Арапова, Елена Сергеевна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Ярославль
• Количество страниц: 98 с. : ил.

§ 1. Общие свойства частичных полурешеток

1.1. Частичные группоиды. Общие свойства

1.2. Частичные полурешетки. Частично упорядоченные множества и частичные полурешетки

§ 2. Гомоморфизмы и прямые объединения частичных полурешеток

2.1. Гомоморфизмы частичных полурешеток

2.2. Прямые объединения частичных полурешеток

§ 3. Частичные полурешетки полугрупп

3.1. Группоиды Брандта. Вполне регулярные группоиды

3.2. Общие свойства частичных полурешеток полугрупп

§ 4. Полугруппы, являющиеся 0-объединением полугрупп Брандта

4.1. Частичные полурешетки полугрупп Брандта. Условие изоморфизма

4.2. Строение инверсных категорийных 0- вполне регулярных полугрупп
4.3. Представление преобразованиями инверсных категорийных полугрупп, являющихся 0-объединением декартовых полугрупп
§ 5. Инверсные полугруппы, являющиеся 0-объединением 0-простых
полугрупп
5.1. Конгруэнция Манна на инверсных категорийных 0-вполне регулярных полугруппах
5.2. Аналог теоремы Андерсена-Круазо
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Один из способов изучения той или иной алгебраической системы состоит в разложении ее на подсистемы из некоторого достаточно изученного класса. В теории полугрупп широко применяются разложения в объединение попарно непересекающихся подполугрупп или попарно пересекающихся в общем нуле.
В этом направлении широко известны работы Клиффорда, Андерсена, Круазо и других. В своей работе (1941) Клиффорд описал строение инверсных полугрупп, являющихся объединением групп. Позже Андерсен и Круазо независимо друг от друга указали строение полугрупп, являющихся объединением простых полугрупп.
При изучении полугрупп с нулем естественно рассматривать разложения на подполугруппы, попарно пересекающиеся в нуле. В этом случае полугруппу называют 0-объединением этих подполугрупп.
Заметим, что всякое утверждение о полугруппах с нулем влечет в качестве очевидного следствия некоторое утверждение о полугруппах без нуля, если предположить, что в рассматриваемой полугруппе ноль является внешним. В частности, изучая те или иные свойства 0-простых (вполне 0-простых полугрупп, полугрупп Брандта) получаем соответствующее утверждение о простых полугруппах (вполне простых полугруппах, группах). Идея эта высказана в монографии Клиффорда и Престона [13].
Полученные в диссертационной работе результаты о разложениях полугрупп в 0-объединения 0-простых полугрупп, а также в 0-объединение полугрупп Брандта очевидным образом приводят к упомянутым выше результатам Андерсена-Круазо и теоремам Клиффорда.
Изучение полугрупп, являющихся 0-объединением полугрупп Брандта представляется актуальным, так как в классе полугрупп с нулем полугруппа Брандта есть наиболее естественный аналог понятия группы: если группа - это инверсная вполне простая полугруппа (без нуля), то

полугруппа Брандта - это инверсная вполне 0-простая полугруппа (с нулем).
Полугруппы Брандта интересовали многих исследователей. Так в 1964 г. Манн [32] изучает гомоморфизмы на полугруппы Брандта; Хёнке [42] находит абстрактную характеристику 0-прямых объединений брандтовых полугрупп; Лаллеман и Петрич [22] дают описание идеальных расширений некоторых полугрупп Брандта при помощи полугрупп Брандта; Клоуда [14, 15] находит геометрическое приложение этих полугрупп; Вехлер и Фихтнер [6, 39] при помощи группоидов Брандта и Эресмана описывают симметрию кристаллов; Т. И. Ершова [10] рассматривает проектирования полугрупп Брандта; О. Б. Кожевников [16, 17] ставит вопрос о строении полугрупп, являющихся 0-объединением полугрупп Брандта. Полугруппы Брандта изучались также Э.Г. Шутовым, Л. Михлером [34], Р. Спаниссиати [40] и многими другими.
Большинство известных к настоящему времени результатов в теории инверсных полугрупп с нулем получены в предположении категорийности в нуле (Манн, Клиффорд, Хауи, Гомеш, Кожевников и др.). Полугруппа £ называется категорийной в нуле, если для любых а, Ь, с е 5 равенство аЬс=0 влечет либо аЬ=0, либо Ьс=0. Например, нулевое расширение малой категории есть категорийная в нуле полугруппа. В классе инверсных полугрупп условие категорийности в нуле равносильно существованию 0-ограниченного примитивного гомоморфного образа. Категорийные в нуле полугруппы, будем называть, краткости ради, категорийными полугруппами, как это принято, например, в работе [7].
Учитывая всё возрастающий интерес к различным подклассам класса //инверсных категорийных полугрупп (см., например, [7,8]) естественно
рассмотреть класс К тех полугрупп из Н, которые являются 0объединением полугрупп Брандта. Класс К достаточно широк: он содержит класс всех инверсных клиффордовых полугрупп с внешним нулем.

потому, В силу предложения 2.12, С?5 есть прямое объединение инверсных клиффордовых полугрупп.
Известно, что в инверсной вполне регулярной полугруппе каждый идемпотент коммутирует с любым групповым элементом. Это же можно утверждать и в более общей ситуации.
Лемма 3.9. В ассоциативном катенарном инверсном вполне регулярном группоиде каждый идемпотент коммутирует с любым групповым элементом.
Доказательство. Пусть £ - ассоциативный катенарный инверсный вполне регулярный группоид. Согласно лемме 3.8, множество б* есть прямое объединение инверсных клиффордовых полугрупп. Пусть ееЕ3, аеС5. Так как е - групповой элемент, то ееС,. Имеем, по доказанному, ее б5(<), аеС{/ где б5(0, - инверсные клиффордовы подполугруппы в
5. Если Щ, то, по определению прямого объединения группоидов, имеем еа=0-ае, то есть еа=ае. В случае /=/, в виду упомянутого выше свойства инверсных клиффордовых полугрупп, опять получаем еа-ае.
3.2. Общие свойства частичных полурешеток полугрупп
Классом группоидов называют [30] такую совокупность группоидов, которая с каждым группоидом содержит все группоиды ему изоморфные.
Пусть 2,Г - некоторые фиксированные классы группоидов. Произведением 2*Г (или Е*Т-классом) назовем класс всех тех группоидов б1, для которых существует такая конгруэнция т, что еГ, а все г-классы
являются частичными подгруппоидами в б1, принадлежащими 2. В классе полных группоидов эта операция (*) является аналогом мальцевского [30] умножения классов.