Некоторые позитивные формулы на полугруппах

• Автор: Малышев, Андрей Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 73 с.

1 Описание формул для известных классов полугрупп
1 1 Основные понятия и результаты
1 2 Тождественные включения в некоторых классах решеток 1 3 Описание дизъюнктивных тождеств в классе всех целей
1 4 Полугрупповые позитивные формулы групп
2 Некоторые инклюзивные многообразия полугрупп
2 1 Некоторые тождественно-включительные многообразия
полурешеток
2.2 Об тг-эксклюзивных полугруппах
3 О мощности решетки дизъюнктивных многообразий
3.1 О совокупностях дизъюнктивных тождеств в классе коммутативных полугрупп
3.2 Пример малого многообразия, имеющего континуум дизъюнктивных подмногообразий .
Библиография
Актуальность темы. Теория многообразий алгебр—один из нибо-лее популярных разделов алгебры, берущий свое начало с классической работы Биргкофа [39] Заметное место в этом направлении занимают исследования по многообразиям полугрупп Достаточно отметить обзорные статьи Эванса [41], А Я Айзешптат и Богуты [2], Л Н Шеврина и М В Волкова [36]
Одним из естественных обобщений понятия тождества являются позитивные формулы первой ступени Еще А.И.Мальцев [26] указывал на важность изучения позитивных формул в вопросе об описании всех делителей (то есть подсистем гомоморфных образов) некоторого универсально аксиоматизируемого класса алгебраических систем. Такое описание для класса вполне 0-простых полугрупп было получено С И Кубланов-ским [42] Среди позитивных формул особое место занимают дизъюнктивные тождества и тождественные включения На языке тождественных включений описываются многие классы полугрупп, не раз являющиеся предметом различных исследований. Впервые понятие тождественного включения в теорию полугрупп ввел Е С Ляпин [21,-44]. В частности, им показано [43], что выполнение тождеств на глобальных полугруппах эквивалентно выполнению тождественных включений на соответствующих полугруппах Э Г Шутовым [37] показано, что совокупность по-лугрупп, всякая подполугруппа которых является правым (левым) идеалом, удовлетворяет некоторой совокупности тождественных включений Совокупностями полугрупп, задаваемые с помощью некоторого тождественного включения являются эксклюзивные полугруппы (Т Татига [47],
Ь О’СоггоП, Б. М Шайн [40], М 4атас1а [48, 49]), полугруппы, всякое подмножество которых является подполугруппой (А. Е Евсеев [11], Е. С Ля-пин [25]), полугруппы, у которых все подмножества тернарно замкнуты (Е С Ляпин), полугруппы с катенарно ассоциативными подмножествами (А Е Евсеев [12]), полугруппы с сингулярно нулевым умножением (А Е Евсеев [11]) и многие другие классы полугрупп. Можно отметить, что, как показано автором данной диссертации, класс всех деревьев также описывается некоторой совокупностью тождественных включений. Кроме того, С И Кублановским на санкт-петербургском городском семинаре по теории полугрупп показано, что задача об описании всех полугрупповых алгебр, удовлетворяющих некоторому полиномиальному тождеству, эквивалентна условию о выполнимости в соответствующей полугруппе некоторой совокупности дизъюнктивных тождеств.
Пусть X—произвольный счетный алфавит, а Т(Х)[Т1{Х)—свободная полугруппа слов [с пустым словом] над алфавитом X. Пусть и 6 Т (X), УСТ (X), V ф 0 Тогда запись вида и Е V называется тождественным включением (т. включением). Тождественное включение и £ V выполняется в полугруппе 5, если для любого гомоморфизма <р Т(Х) —> 5 выполняется (р(и) £ <р{У), где <р(V) = { максимальным подрешеткам полурешстки 5, то 5 содержит полурешет-ку, изоморфную полурешетке 5’2 (рис. 2.1.3). Противоречие. ■
На рисунке 2 15 изображены некоторые примеры полурешеток из класса
Деревом назывется любая полурешетка, у которой любые два несравнимые элемента не имеют верхней границы, то есть на произвольном дереве 5 выполняется следующая универсальная замкнутая формула первой ступени
(Ух, у, г £ 5) ((ту ф хкху ф у) —» (хг ф ж V у г фу))
Следущая лемма утверждает, что класс всех деревьев является т в многообразием, задаваемым совокупностью конечных т включений, то есть задается совокупностью универсальных позитивных формул первой ступени
Лемма 2.1.4. Класс Г5 представляет собой класс всех деревьев. Полурешетка принадлежит классу Г5 тогда и только тогда, когда она не содержит подполурешеток вида 5з, изображенных на рис. 2 13.
Доказательство. Докажем вначале, что на произвольном дереве выполняется тождественное включение хуг £ {ху, уг} Так как данное тождественное включение зависит только от трех переменных, то для докаРис 2 1