Пространство решеток и функции на нем

• Автор: Реброва, Ирина Юрьевна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 170 с.

Содержание
Предисловие
Введение
Глава 1. Пространство решеток
§1. Лучевые функции, звездные тела и нормы
§2. Операторные нормы матриц
§3. Метрики на пространстве решеток и полнота
пространства решеток
§4. Алгоритм вычисления расстояния между двумя
целочисленными решетками
Глава 2. Количество точек сдвинутой решетки
в гиперболических звездных телах
§5. Объемы гиперболических звездных тел
§6. Асимптотическая формула для числа точек сдвинутой решетки в гиперболическом кресте
§7. Асимптотическая формула для числа точек
сдвинутой решетки в гиперболической звезде
§8. Асимптотическая формула для числа точек сдвинутой решетки в модифицированном гиперболическом кресте
Глава 3. Непрерывность обобщенной гиперболической дзета - функции решеток и ее аналитическое продолжение
§9. Обобщенная гиперболическая дзета - функция
решеток как ряд Дирихле
§10. Непрерывность обобщенной гиперболической

дзета - функции решеток
§11. Аналитическое продолжение обобщенной гиперболической дзета - функции для целочисленных и рациональных решеток
Глава 4. Рекурсивные алгоритмы для решеток
§12. Простейшие свойства гиперболического
параметра
§13. Гиперболический параметр двумерной решетки
§14. Линейные порядки на целочисленном гиперболическом кресте
§15. Рекурсивный алгоритм
Глава 5. Пространства сеток и некоторые
пространства периодических функций
§16. Сетки, классы функций и квадратурные
формулы
§17. Линейное пространство и алгебра сеток
с весами
§18. Нормированное пространство сеток с весами
§19. Образ пространства сеток свесами в
сопряженном пространстве AF*
§20. Метрическое пространство сеток
§21. Нормированная алгебра сеток с весами
Список литературы
Приложения

Предисловие
Работа посвяшена изучению аналитических и алгоритмических проблем геометрии чисел и приложениям теории чисел к вопросам приближенного анализа. Рассматриваются структуры метрического пространства на множестве решеток, изучаются аналитические свойства обобщенной гиперболической дзета - функции решеток с помощью вывода асимптотической формулы для числа точек сдвинутой решетки в гиперболических звездных телах, строятся алгоритмы вычисления гиперболического параметра решеток, предлагаются конструкции нормированного пространства и нормированной алгебры на множестве сеток с весами.
Нумерация параграфов общая для всей работы. Определения, леммы, формулы и доказываемые в работе теоремы нумеруются двумя числами, первое из которых -=“* номер главы. Теоремы, приводимые без доказательства, обозначаются буквой. Н}'мерация констант С(Л) единая для всей работы. Когда формулы переносятся на следующую строку, знак дублируется в начале каждой строки.
Цель работы
1. Рассмотреть различные способы задания метрики на множестве решеток.
2. Получить асимптотические формулы для количества точек сдвинутой решетки в гиперболическом звездном теле.
3. Получить аналитическое продолжение для обобщенной гиперболической дзета - функции целочисленной и рациональной решеток.
4. Построить и обосновать рекурсивный алгоритм вычисления гиперболического параметра решетки.

Здесь полагаем ууТ = 00 ПРИ 3 = Отсюда следует, что, если
) 1 при о: < .с < 3.
Х{х,а,р) =
| 0 при х ф [а, /3)
— характеристическая функция промежутка [а, /3), то при а > 1 к

Цх,а) = Е(Я'% -X ((а Щ Щ - У*~
’У/Уі
и, значит, лучевая функция _Рг(ж) гиперболического креста К8(1) имеет вид

О при х = О,
0=1 і
при т 0 и 5 (х)

2/1 У к
п ... гс*.
Заметим, что гиперболический крест обладает большой группой симметрий. Он центрально симметричен относительно начала координат, симметричен относительно всех координатных осей и координатных гиперплоскостей. При перестановке любых двух координат крест переходит в себя.
Пример 2. Гиперболической звездой назовем точечное множество
Пі(<, а) = {:? I П Х] + аі < і}, і
(1.2)
определяемое функцией
/(2,3) = П'(1| + а#) е М0(?(а)).

Если а = 0, то гиперболическая звезда Пх(£,а) превращается в гиперболический крест К8 (£).