Диофантовы приближения с числами Пизо

• Автор: Журавлева, Виктория Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 92 с. : ил.

Оглавление

Введение
Глава 1. Последовательность Фибоначчи
1.1. Точные результаты при небольших N
1.2. Ближайшее целое к
1.3. Максимум функции -£44+3(2;)
Глава 2. Общие результаты о числах Пизо
2.1. Доказательство теоремы 2
2.2. Периодические последовательности по модулю
2.3. Доказательство теоремы
Глава 3. Числа Пизо малых степеней и особые случаи
3.1. Золотое сечение
3.2. Два наименьших числа Пизо
3.3. Числа Пизо степени
3.3.1. Нижняя оценка для чисел Пизо степени <
3.3.2. Множество коэффициентов чисел Пизо первой и второй степени
3.3.3. Множество коэффициентов чисел Пизо третьей степени
3.3.4. Разбиение Лз(аД на области ГДаД, ^(аД, Гз(аД
3.3.5. Верхние оценки
3.4. Числа Пизо, меньшие ^+
Приложение
Список литературы

Введение
Общая характеристика работы
Актуальность темы. Настоящая диссертация посвящена вопросам распределения степеней чисел Пизо и некоторых рекуррентных последовательностей, связанных с числами Пизо. Задачи, касающиеся диофантовых свойств и равномерного распределения экспоненциальных последовательностей, возникали у Г. Вейля, А.Я.Хинчина, А. Туэ, Г. Харди, К.Л. Зигеля, Дж.В.С. Кассслса, К. Малера, А.О. Гельфонда, Н.М. Коробова и других математиков.
Рассматриваемым в настоящей диссертации числам Пизо (иногда называемым числами Пизо-Виджаярагхавана) посвящена глава из книги Кассел-са [4]. Обзор классических и современных результатов представлен в книге «Pisot and Salem numbers» [2]. Несмотря на свое название, числа Пизо-Виджаярагхавана до работ Ш. Пизо [29] и Т. Виджаярагхавана [39] появлялись в работах А. Туэ [38] и Г. Харди [19].
Напомним, что целое алгебраическое число а называется числом Пизо, если оно само больше 1, а его сопряженные лежат строго внутри единичного круга P = {zeC:|2:| Несомненно, наиболее известным числом Пизо является золотое сечение --|+-. Один из результатов настоящей диссертации как раз связан с последовательностью £ j ||, где || • || — это расстояние до ближайшего целого.
Точного описания множества чисел Пизо, вообще говоря, нет. Два наименьших числа Пизо были найдены К. Зигелем в [37]. В дальнейшем, его работу продолжили Ш.Пизо и Ж.Дюфреснуа, найдя все числа Пизо, мень-

шиє золотого сечения [14]. Также они доказали, что именно является наименьшей предельной точкой этого множества.
Как известно (см. [23]), для типичного вещественного числа а последовательность дробных долей {ап} равномерно распределена. Но если а — число Пизо, то это не так. Вопросы распределения последовательностей вида {£ап}, где {•} — это дробная часть, а — число Пизо, а £ — некоторое действительное число, имеют особую специфику. Именно эти вопросы и рассматриваются в настоящей диссертации.
Последовательности вида £а", где а > 1, являются частным случаем более общего класса так называемых лакунарных последовательностей. Например, из общего результата А.Я. Хинчина о лакунарных последовательностях [21] следует, что существует такое действительное £, что {£«"} не только не равномерно распределены, но и не всюду плотны на отрезке [0,1]. Впоследствии В. Шмидт установил в [35], [36], что множество таких £ является выигрышным и имеет хаусдорфову размерность один.
В случае а = р/д, где р, д є М, р > д > 2 про последовательность {£а"} известно совсем немного. Например, до сих пор не удается установить, существуют ли так называемые Я-числа Малера, то есть такие действительные числа £, что для всех целых п > 0 выполнено неравенство 0 < {£(3/2)”} < 1/2. Упомянутая проблема Малера [24] является одной из наиболее интересных задач о распределении степеней рациональных чисел. Другая известная нерешенная гипотеза предполагает, что {(3/2)"} всюду плотны в отрезке [0,1] и, более того, равномерно распределены.
Пожалуй, наиболее значимым на данный момент результатом в этом направлении является теорема, доказанная Л. Флатто, Д. Лагариасом и А. Поллингтоном в [16], которая утверждает, что все дробные части последовательности {£(р/д)"} не могут лежать внутри определенного интервала длины Оригинальное доказательство этого утверждения использует методы теории динамических систем. Более естественное комбинаторное доказа-

После подстановки, описанной в пункте 2, получаем
Т^с+5 _ Т^к+7 — 2 _ Р[к+4 + 2F4fc+з ~ 2 _ 4Р4к+4 + 3^4;.+з — 8 Р41:+5 Р1к+7 5^+5 5^+
После подстановки, описанной в пункте 3, получаем Тк-+5 ^ тк+7 ~
2 11-^4^: + 7^-1 — 2 297г4/с + 18^-! —
7*11к+5 Р1к+7 40^ + 25Да;_1 105^* + 65^_!
Преобразуем полученное выражение согласно пункту 4:
Т4к+5 _ 7~4Я-+7 ~ 2 _ —5-7^ + 5771ц._1 + ЪР^Р^к-! + 1107/17- + 707^4^ -^4^+5 Р4к+7 (4077у1; + 25^4д;_1)(105^. + 65Р4^._1)
~ 10С^4^4Ь-2 — Р1к-) + 110^4*; + 7QF4^,„1 ^
(40^ + 25^_1)(105^ + 65^_1) -
> -5(-1)4^1 +330 +
(40^47- + 25F4fc_l)(105F4fc + 6 5F4Jt_l)
Докажем неравенство Г^~ >
После подстановки, описанной в пункте 2, получаем
Т4к+7 + 1 _ Тлк+4 _ ^Рлк+4 + З+Д+д + 7 ^ 2^4^,.+4 — ^4^+3 +
^4й+7 ^4^+4 5+4^+7 5^4^.+
После подстановки, описанной в пункте 3, получаем
Р4к+7 + 1 Т4к+4 _ 29+4/; + 18^4)Ь-1 4~ 7 7+4А; + 4^4^_1 +
Р^к+7 Р4к+4 105F4fc + 65F4^c_l 25F4fc+4 + 15Еп,.
Преобразуем полученное выражение согласно пункту 4:
Т4к+7 + 1 Т4к+4 _ —10F42fc + 10^ + 10FцF4fc-l + 70F4fc + 40F4fc_l
Рлк+7 р4к+4 (105F4/t + 65F4fc_l)(25F4yt + 15F4^;_l)
_ — Ю№^4Л;_2 — F42A,_1) + 70F4, + 40F4^■-l ^
~ (105F4^: + 65F4fe_г)(25F4fc + 15+дГО ~
> -10(-1)4Я-1 + 225 +
(105F4/fc + 65F4^;_l)(25F4jt + 15F4^-_l)
Утверждение 1.2 полностью доказано. □