Линейные формы от логарифмов алгебраических чисел

• Автор: Алексенцев, Юрий Михайлович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 86 с.

ГЛАВА 1. О мере приближения числа п алгебраическими числами

§1. Вспомогательные леммы

§2. Доказательство теоремы

ГЛАВА 2. Линейные формы от логарифмов алгебраических чисел

§1. Лемма о нулях

§2. Многочлены Гильберта

§3. Многочлены Гильберта и количество точек решетки

§4. Логарифмические высоты

§5. Лемма Зигеля и дискриминант алгебраического поля

§6. Неравенство Лиувилля

§7. Вспомогательные многочлены

§8. Индуктивное предположение
§9. Построение вспомогательных функций
§10. Приближающие функции
§11. Алгебраическая оценка снизу
§12. Оценка производных
§13. Конечные произведения Бляшке
§14. Индуктивный процесс экстраполяции
§15. Последний шаг: Использование леммы о нулях
Список литературы

Результаты настоящей диссертации относятся к теории трансцендентных чисел. Первая Глава IIосвящена оценке меры приближения числа тг алгебраическими числами и, как следствие, оценке меры трансцендентности числа 7Г. Напомним, что мерой приближения некоторого числа в Є С алгебраическими числами называется функция Ф(0, L, d) — min [0 — £], где L = L{Q - длина числа С (сумма модулей коэффициентов основного многочлена для С) и d, = degC - степень числа С (степень основного многочлена для С), а min берется по всем алгебраическим числа £, L(Q < L, deg(C) < d. Чаще всего найти точно функцию Ф(0, L, d) сложно, поэтому часто говорят об оценке меры приближения, т.е. об оценке функции Ф(0, L, d). Во всей работе константы, для которых имеется способ вычисления, мы будем называть эффективными, а константы, про которые мы знаем только их существование, но не можем найти, будем называть не эффективными. Также во всей работе под log а, а Є М+ понимается натуральный логарифм числа о, если же a Ж.+, то log а - некоторая фиксированная ветвь натурального логарифма.
Число 7г - один из классических объектов в исследованиях оценок мер приближения алгебраическими числами. Первыми работами по этой теме были работы Я.Попкена [34] 1929 года и К.Малера [22],[23] 1953 года. В частности Попкен доказал, что
Для любого С Є A, L(() < L, deg(C) < d выполнено неравенство
к-СІ > е-1о^
здесь L > L, L - абсолютная постоянная, а с = c(d) > 0 - некоторая явно не указанная эффективная постоянная, зависящая только от d.
Далее исторически следуют работы Н.И.Фельдмана [47],[48], в которых он, применяя в этом вопросе один из методов А.О.Гельфонда, дал лучшую на тот момент оценку меры приближения числа 7г алгебраическими числами:
Существует такая эффективная абсолютная постоянная С, что для любого С Є A, deg С < d, L(C) < L, L > 3, выполняется неравенство
|тг С| > e~Cd(lo& L+d!og d^1+log
Точное значение константы С в этой теореме не вычислялось, однако указывалось, что ее нетрудно вычислить. Эту же самую теорему через 17 лет

в работе [15] передоказал Л.Цайсув. В дальнейшем Н.И.Фельдманом была опубликована работа [52], в которой доказывалось, что константу С в теореме можно взять равной 389, однако при условии достаточно большого L. В работе М.Вальтшмидта и Ю.В.Нестеренко [42] доказана некоторая общая теорема и указано, что частным случаем ее является оценка теоремы 2 с константой равной 1,25 • 106, эта константа хотя и больше чем 389, однако она получена без каких либо ограничений на параметры L и d. Основным результатом главы 1 диссертации является следующий результат:
ТЕОРЕМА.Пусть С— алгебраическое число, а действительные числа d и L удовлетворяют неравенствам d > deg£, L > L(Q, L > 3. Тогда если d достаточно велико, то выполняется неравенство
|7Г - С| > ехр(—21,4708 • d(ogL + dlogd) ■ (1 + logd)).
Для доказательства этой теоремы применяется техника интерполяционных определителей, предложенная М.Лораном в работах [20] и [21].
• Вторая глава диссертации посвящена оценке линейных форм от логарифмов алгебраических чисел. Первые результаты в этой области были получены в связи с решением седьмой проблемы Гильберта А.О.Гельфондом [43] и Т.Шнейдером [35] в 1934 году. Как известно, седьмая проблема Гильберта заключается в доказательстве утверждения, что число а& (при алгебраическом а ф 0; 1 и алгебраическом иррациональном /3) - трансцендентно. Этот же факт можно сформулировать иначе: доказать, что если отношение logon/ log с*2 фиксированных ветвей логарифмов алгебраических чисел e*i, <*2 Ф 0 иррационально, то оно трансцендентно. Гельфонд усилил эту теорему и в работе [44] получил оценку снизу для величины |logax/loga2 — £| в зависимости от характеристик С € А, т.е. доказал оценку меры приближения logai/ log «2 алгебраическими числами. Для седьмой проблемы Гильберта возможно дать и третью эквивалентную формулировку: доказать, что если линейная форма Ь log an + 62 log «2 от фиксированных ветвей логарифмов алгебраических чисел а 1,0:2 Ф 0 не равна нулю при любых рациональных bi, 62, |6i | + |Ьэ | > 0, то она не равна нулю при любых алгебраических 61,62 также не равных нулю одновременно. А.О.Гельфойд в 1939 году показал, что методами, сходными с теми, которыми было получено решение седьмой проблемы Гильберта, можно в некоторой степени усилить последнюю формулировку. А именно: доказать, что если равенство 61 log ац + 62 log »2 = 0 невозможно при рациональных не равных нулю одновременно 6«, то выра-

log max |n(t) I < f log В + T ■ log (l + r^|^) < (T —t0) log В+ 0,388T.
(9.9)
Благодаря лемме 8 мы можем утверждать, что для любого комплексного г выполнено неравенство:
max|0(2/ог; t)| < е^т° • eDo+H (l + ^дГ^) . (9.10)
Подставляя вместо г целое число s, используя лемму 8 и неравенство Н < log Я, мы видим, что для 0(2/os; t) выполнена оценка:
107 / S
log max |©(2/os;t)| < —f0logfi + .Do + # +Arlog f 0,01 + — J + /0A)log2.
Используя последнее неравенство, неравенство (9.9), и тот факт, что (Т — to) log В + log В < log В, получаем оценку:
107 ( 8
log max |n(t)0(2/os, t)| < — TlogB+Do+H+Do-log / 0,01 +
+0,388T+IqDq log 2 < 2,458T log B.
(9.11)
Здесь мы также пользовались тем, что многочлен П(£) не зависит от Ао, а также использовали неравенства:
Do < < 0, 097Г log В, см. (9.1),
Я < 10~4Tlog£, см. (9.1),
0,388Т < 0,023Гк^Я, см. (9.1),
Do ■ log (0,01 + |) < D0 • log (0,01 + 1,063 • 0,9(n + 8)d) < 0,2182T log B, используя при этом (9.1) и неравенство 1о?(°:01+^^0'9(”+8)^) < 1,261, 7oA)log2 < 1,08т1 log Я, см. (9.1).
Оценим теперь выражение:
log max
. . /S^n
*1 П

см. (9.8). Используя свойства логарифмической высоты Вейля (см. параграф 4 и (4.2)), получаем неравенства:
2 1°§тах а**1 -... • аапх" и тах|а!|*А' +.. ,+тахап|*А”
V V