Тождества со следом и их приложения

• Автор: Самойлов, Леонид Михайлович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Ульяновск
• Количество страниц: 76 с.

Оглавление.
1. Введение
2. Определения и основные обозначения
3. Полилинейные тождества со следом алгебр Мп
4. Аннуляторы тождеств у-классических многообразий
5. Описание минимальных у-классических многообразий
6. Свёртка у-классических многообразий
7. Свёртка первичных многообразий
8. Конечная базируемость некоторых Г-пространств
9. Трёхчленные тождества ассоциативных алгебр
Литература

I. Введение.
Пусть Т(Х) - свободная ассоциативная алгебра над полем Т, порождённая счетным множеством X, и А - произвольная ассоциативная алгебра над Т. Алгебра А удовлетворяет полиномиальному тождеству /(хі
Простейшими примерами Рі-алгебр являются коммутативные, конечномерные, нильпотентные, алгебраические ограниченной степени алгебраичности и т.п. алгебры. Категория (ассоциативных) алгебр, удовлетворяющих некоторой системе тождеств, называется многообра-зием, а свободные объекты в этой категории - относительно свободными алгебрами. Ясно, что многообразия замкнуты относительно гомоморфных образов, подалгебр и произвольных прямых произведений. Можно доказать и обратное (теорема Биркгофа), то есть что непустой класс алгебр, замкнутый относительно трёх вышеперечисленных операций, является многообразием. По теореме Регева-Латышева ([21]) класс РІ-алгебр замкнут относительно тензорных произведений.
Тождества являются важным объектом исследования как для теории колец (см, например, [29]), так и для теории инвариантов (см. [22] или [8]).
Чтобы работать с тождествами, надо иметь язык, на котором можно адекватно описывать их существенные свойства. Имеются два традиционных способа задания многообразий алгебр, взаимно дополняющих друг друга:
1) используя носитель, то есть предъявляя алгебру и рассматривая минимальное многообразие, содержащее её;
2) предъявляя некоторый набор тождеств.
Эти два способа задания многообразий далеки друг от друга и переход от одного способа к другому даже для “простейших” случаев является весьма сложной задачей. Так, например, базис тождеств неизвестен над полем характеристики нуль для алгебры матриц третьего порядка, а над полем положительной характеристики он неизвестен

даже для матриц второго порядка (и неизвестно, конечен ли этот базис).
Тождества некоторой алгебры А образуют двусторонний идеал Т[А] в свободной алгебре F(X). Такие идеалы называются Т-идеалами, или вербальными идеалами. Т-идеалы совпадают с классом вполне характеристических идеалов свободной ассоциативной алгебры, то есть идеалов, замкнутых относительно всех эндоморфизмов. Между многообразиями алгебр и Т-идеалами имеется взаимно-однозначное соответствие. Если Г - Т-идеал, то алгебра F(X)/T порождает многообразие, идеал тождеств которого равен в точности Г.
В случае, когда основное поле F имеет нулевую характеристику, структурная теория многообразий была построена А.Р. Кемером (см. [12]), откуда им было получено положительное решение проблемы Шпех-та. Эта проблема заключается в доказательстве того факта, что каждый Т-идеал порождается (как Т-идеал) некоторой конечной системой своих элементов. Над полями положительной характеристики проблема Шпехта в общем случае была решена отрицательно (А.Я. Белов,
A.B. Гришин, В.В. Щиголев, см. [1], [4], [30]). Тем не менее, А.Р. Кемером была доказана локальная шпехтовость (см. [13]): каждый Т-идеал свободной ассоциативной алгебры конечного ранга порождается конечным числом элементов как Т-идеал.
Важнейшую роль в структурной теории многообразий ассоциативных алгебр играют так называемые первичные многообразия (и соответствующие им вербально-первичные, или просто первичные, Т-идеалы), введённые А.Р. Кемером. Напомним, что Г-идеал Г называется вербально-первичным, если для произвольных Г-идеалов Fi и Г2 из включения Ti Г2 С Г вытекает, что Г] С Г или Г2 С Г. Многообразие называеся первичным, если соответствующий ему идеал тождеств вербально-первичен. Более слабым по отношению к вербальной первичности является понятие вербальной полупервичности. А именно, Т-идеал Г называется вербально-полупервичным, если для произвольного Т-идеала Г] из включения Г] Г| С Г вытекает, что Г( С Г.
Над полями нулевой характеристики все вербально-первичные Т-идеалы были описаны А.Р. Кемером (см. [12]).
Теорема (А.Р. Кемер). Собственный Т-идеал Г является вербалъ-

элемент Хф. Далее из индуктивных соображений (по £) будет следовать, что V содержит Хф = 1.
Пусть т > 0. Имеем равенства по модулю идеала V:
0 = (7 + (0,т) + (1,га) + ... + (т - 1,т))Хф
— ((7 — 1) + (£ + 1, т) + (£ + 2, ш) + ... + (ш — 1, т))Хф(тос! V). (*)
Исходя из предположения индукции по т мы можем считать, что элемент (7 — 1) + (£ + 1, т) + (£ + 2, т) + ... + [т — 1, т) порождает единичный идеал в алгебре + 1
перестановочности Xф и Т5?/т(г + 1
При исследовании 7-классических многообразий важную роль играют абсолютно унитарные (сокращённо а.у.) полиномы, которые А.Р. Ке-мер называет критическими по модулю (0). А именно, / £ Рт с условием Ат(/) ф 0 называется а.у. полиномом, если для всех <т, г £ 5т+1 выполнено равенство (А“1(сгАго(/)г))|:!,т-1 = 0. Ясно, что при этом 0 получается не только при подстановке хт = 1, но и при подстановках X] = 1. Очевидно, что тождества минимальной степени некоторых 7-классических многообразий и только они являются а.у. полиномами.
Если М С Е5т+1, то через (М) обозначим двусторонний идеал в Е5то+1, порождаемый множеством М. Следующая лемма характеризует а.у. полиномы на языке аннуляторов.
Лемма 10. Пусть / £ Рт и Аш(/) ф 0. / является а.у. полиномом тогда и только тогда, когда (д™) Ато(/) = 0.
Доказательство. Доказательство непосредственно вытекает из определения а.у. полиномов и равенства Хто_1(/|*т=1) = ргт(<1™ Ат(/)), где / £ Рт, которое достаточно проверить в случае, когда / есть моном.
Теперь можно показать, что в случае характеристики 0 каждый 7-классический Т-идеал имеет вид Мпд. Действительно, в силу хорошо известной структурной теории алгебр Т5т+1 (предложение 1) 7-клас-сический Т-идеал Г порождается полиномом Тг( 1) — 7 и элементами