Слабо примитивные суперкольца

• Автор: Лимаренко, Сергей Владиславович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 90 с.

1. Сжимаемые модули и теоремы плотности
1.1 Сжимаемые модули
1.2 Слабо примитивные кольца с точными критически сжимаемыми правыми идеалами
Ф 1.3 Расширенная теорема плотности
2. Слабо примитивные суперкольца
2.1 Суперкольца и супермодули
2.2 Суперкольца частных
2.3 Расширенный центроид суперкольца
2.4 Теорема плотности Джекобсона для суперколец
2.5 Расширенная теорема плотности для суперколец
2.6 Расширенная теорема плотности для градуированных колец
Библиография
Теорема плотности является одним из центральных результатов теории примитивных колец и имеет большое количество приложений. В классических монографиях Джекобсона ([27]), Ламбека ([ 31]) и Херстейна ([40]) эта теория подробно изложена, а теорема плотности приведена в нескольких вариантах. Важную роль в исследовании данного вопроса играют кольца эндоморфизмов неприводимых (простых) модулей над произвольным телом. В теории ассоциативных колец вопросу об изоморфизме колец эндоморфизмов модулей уделено большое внимание (см. работу А.В.Михалева [39]). Помимо самих колец эндоморфизмов интерес представляют их плотные подкольца. Данная теория имеет и топологическую интерпретацию, где термин "плотный"приобретает привычное значение. Точнее, теорема плотности дает описание примитивных колец как плотных подколец колец эндоморфизмов векторных пространств над телами, где само понятие плотности фигурирует как в алгебраическом, так и в топологическом смысле.
Огромное значение теории примитивных колец привело к многочисленным попыткам обобщения теоремы плотности. Большинство подходов основано на изучении более широкого класса модулей (в классической теории - это класс неприводимых модулей). Особое внимание уделяется свойствам колец эндоморфизмов таких модулей. Также было обобщенно понятие примитивного

Стоит отметить, что большинство исследований в этой области не были выведены за рамки теории первичных колец. Так, Джонсон и Вонг ([8]) рассматривали первичные кольца с нетривиальными минимальными правым и левым первичными идеалами, а Кох и Мьюборн ([9]) распространили результат Джонсона на еще более широкий класс колец - первичные антисингуляр-ные справа кольца с однородным правым идеалом, а также кольца с правым почти максимальным идеалом.
Самый широкий подкласс первичных колец был исследован в работах Зельмановица ([19],[20],[21] и [22]), где он ввел понятие критически сжимаемого модуля, а кольцо, обладающее точным критически сжимаемым модулем, назвал слабо примитивным. Также им была доказана расширенная теорема плотности.
В работе Амицура ([1]) используется понятие несингулярного униформного (однородного) модуля, которое, как выясняется, тесно связано с понятием критически сжимаемого модуля.
О.Д.Авраамова ([24]) доказала теорему плотности для обобщенных слабо примитивных ортогональных полных колец.
Следующим шагом в этом направлении стало исследование аналогичных градуированных объектов. Общая теория градуированных колец и модулей подробно изложена в классических монографиях Настасеску и Ойстайна ([13] и [14]). Теорема плотности для градуированных примитивных колец была доказана в работе Лиу, Бити и Фанга ([12]). В работе Гомеса и Настасес-ку ([4]) рассматривались gr-пoлyпpocтыe модули. И.Н.Балаба ([25]) в свою очередь провела исследование градуированных слабо-примитивных колец.
С.В.Зеленов ([29]) доказал обобщенную теорему плотности для колец, гра2. Слабо примитивные суперкольца

<3тг(-й) со свойством
1т(а) = 1т(а)о + 1т(сг) где 1т(а)а = {до € Ятт(К) | ДО/ ^ К для некоторого J £ X}.
Доказательство, определим а : фг —> (Этг по правилу {/^}17 = [/;/], отображение задано корректно и оно тождественно на Л. Так как
({/«; Л + {да; К})° = {и + до; Кд}° = [/а + до; КД = [/а + до; к п /],
то а аддитивно. Аналогично показывается, что а сохраняет произведения и является мономорфизмом. Если а' : фг —> С}тг — другой мономорфизм суперколец, тождественный на Я, ТО ДЛЯ произвольных ДО € (фг)я- и хТ € ((до : Я)д)т имеем
(в? “ 9?*)*т = = дохт - q%xт = 0.
Следовательно, имеет место единственность. Теперь положим
Фа = {до € Фтг(Д) | ДО/ С Л ДЛЯ НвКОТОрОГО I Е 1}, С} = С]0 + фь
Очевидно, 1т(сг) € ф. Пусть до е фа, тогда до/ С Я для некоторого 7 6 X. Определим /а : 7 -» Я по правилу /а(я) = доз:. Таким образом, до = {/а;/}, откуда ф = 1т(а) □
Пусть Я первично и аа,6/з € фтг(А). Предположим, что ааИЬр = 0. Тогда либо аа = 0, либо Ьр = 0. Действительно, пусть аа ^ 0 ф Ьр, тогда найдутся такие гр, ва € Я, что 0 Ф аагр € Я и 0 ф Ьддо € Я. Но тогда (аагр)К(Ьрза) = 0. Получаем противоречие с первичностью.