Представление натуральных чисел диагональной квадратичной формой специального вида

• Автор: Андреева, Татьяна Юрьевна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 59 с.

Обозначения

1 Вспомогательные утверждения

2 О числе решений уравнения 4а(х1 4- х%) + Ь(х% + х1) = к

3 О числе решений уравнения 4а{х + х) + Ъ(х + х) — fc, при условии

(^з + х, к) — 1

4 О числе решений уравнения 4а(х1 + х%) + Ь(х + х) = к, при условии

(х% + х, к) - В

Список литературы

Обозначения
е - положительная, сколь угодно малая константа. р - простое число log(x) - натуральный логарифм х. х{п) - неглавный характер Дирихле по модулю 4.
ХоЫ) - главный характер Дирихле по модулю 4.
р{п) - функция Мёбиуса.
ф(п)- функция Эйлера.
т{п) - число натуральных делителей числа п.
((s) - дзета-функция Римапа.
Запись (а, Ь) означает наибольший общий делитель а и Ь.
Запись dn означает, что п кратно d.
Запись а — b (mod m) означает, что т](о - Ь).
Запись ра\К означает, что а - наивысшая степень р, которая делит К. Запись Д <С В означает, что А < сВ, где с - положительная константа.
1<п<оо
(п,А)
<2а(2) = Е Ь1 < 73 < ОО
{п,2А)=
Нт(Ь) =:^— Е е-2<, в частности
«I* Л?-»
нт( 1)
dm
Е J.
dk (d,c)

Вопрос о представимости чисел в виде суммы двух квадратов - вопрос, имеющий давнюю историю: он рассматривается еще в "Арифметике"Диофанта (около 250 года нашей эры), но точный смысл .утверждений Диофанта неясен. Решение этого вопроса дал впервые немецкий математик Жирар в 1625 г. и немного позднее Ферма. Первым из известных нам доказательств является доказательство Эйлера, опубликованное в 1749 году.
Жирар и Ферма заметили, что любое натуральное число представляется как сумма четырех квадратов целых чисел. Учитывая, что в таком представлении некоторые слагаемые могут равняться нулю, эту теорему можно перефразировать так: каждое натуральное число представляется как сумма не более четырех квадратов натуральных чисел. Некоторые историки считают, что этот факт был известен уже Диофанту из Александрии: он не указал необходимых условий представимости числа суммой четырех квадратов, отметив, однако, что суммой двух или трех квадратов могут быть представлены лишь числа некоторого типа (см., например, [1]).
В 1749 г. JI. Эйлер опубликовал доказательство теоремы о представимости натурального числа суммой двух квадратов (доказательство можно найти, например, в [3]). Ж. А. Лагранж в 1770 году доказал, что каждое натуральное число представимо суммой не более четырех квадратов целых чисел (доказательство можно найти, например, в [2]), а в 1875 году А. М. Лежандр сформулировал критерий существования нетривиального решения диофантова уравнения:
а + а2хх2 + а2х = 0,
где а,- попарно взаимно просты и не все одного знака, i = 1,2,3 . Он же доказал, что каждое натуральное число п может быть представлено суммой трех квадратов целых чисел тогда и только тогда, когда п отлично от чисел 41М, где М = 7 (mod 8). Правда, его доказательство опиралось на факт, известный теперь как теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии и доказанной лишь в 1873 году.
К. Ф. Гаусс в своем труде "Арифметические исследования "на основе развитой им теории бинарных квадратичных форм доказал теорему Лежандра полностью.
Якоби в 1829 году с помощью эллиптических функций получил в неявном виде

Е^П(а*)И)) Е Е
АЬ ^ 4 7 -Я|(®.Л) ”*3

<т2,2а)=1 (тз
"2<^ »3<(«i-Sfe
Следовательно,
5l " S • 4 • ^тгМ{к,а,Ъ) «е *й+*а-§Ит(Д). 4^ ао
Утверждение леммы доказано.
Лемма 21 Пусть к,а,Ь,И - натуральные, (2а, Ь) — 1, (2аЬ,к) = 1, к = Ь (тос! 4), а4Ь3В12 -С к, Бк, тогда для любого е > 0 справедлива оценка:
ы, тг k x(D)
S*~i'7b' «« *й+£а"*Иг(Д). (4.7)

М(к,а,Ь) = Нь(1)Ь.К(1К^(2) Е ХИП(1-^)Х
° dD pD '
( хЕ£Ш2п(1+х(р)Л_ хм)) e e x(i).
«I* Р1г т1(в'ш) , 'I?
(т,2а)—I (Юа-р^)-!
m Доказательство.
Имеем
5з= E 53 r^>
(p,2a)=l 4an=& (mod bp)
(P,fc)|0 (n,A)=l
где n = x + x.
Аналогично лемме 19 главы 4, получаем
(p,2a) = l 4an=fc (mod b[p,D6])
(p,k)D
Для того, чтобы применить лемму 10 главы 1, необходимо проверить выполнение условия
,1П „з к - р(кЪ)3
(bDp6)i <